Question

【題目】【2016山東青島卷】歸納式探究﹣﹣探究小球沿過山車軌道的運(yùn)動

小雨觀察到游樂場的過山車可以底朝上在圓形軌道上運(yùn)動，游客卻不會掉下來．他想探索其中的奧秘，做了以下兩個(gè)探究：

（1）探究一：如圖甲所示，小球由A點(diǎn)沿光滑軌道自由運(yùn)動到B點(diǎn)，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v與高度h和小球質(zhì)量m的關(guān)系，數(shù)據(jù)如表一．

表一：

實(shí)驗(yàn)次數(shù)	h/m	m/kg	v2/（m2s﹣2）
1	0．2	2．0×10﹣2	4．0
2	0．4	2．0×10﹣2	8．0
3	0．4	3．0×10﹣2	8．0
4	0．8	2．5×10﹣2	16．0

則小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v與 有關(guān)，且v2=k1 ．

探究二：如圖乙所示，小球以一定速度從B點(diǎn)沿光滑的豎直圓形軌道運(yùn)動，恰好通過最高點(diǎn)C．小球在B點(diǎn)的速度v與軌道半徑r的關(guān)系，數(shù)據(jù)如表二．

實(shí)驗(yàn)次數(shù)	r/m	v2/（m2s﹣2）
1	0．15	7．5
2	0．30	15．0
3	0．45	22．5

則小球在B點(diǎn)的速度v與軌道半徑r的關(guān)系式為 ．

（3）如圖丙所示，將甲、乙兩軌道組合后，小球從A點(diǎn)沿光滑軌道自由運(yùn)動，若r=0．4m，要使小球經(jīng)過B點(diǎn)后能恰好通過C點(diǎn)，則h= ．

Answer 1

【答案】（1）高度h；h；（2）v2=50m/s2×r；（3）1m．

【解析】（1）表格一：由1、2次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，質(zhì)量相同時(shí)，下滑的高度越高到達(dá)B點(diǎn)速度的平方越大，且小球下落高度的倍數(shù)和到達(dá)B點(diǎn)速度平方的倍數(shù)相等，即小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v的平方與高度h成正比；

由2、3次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，小球下滑的高度相同時(shí)，質(zhì)量不同的小球到達(dá)B點(diǎn)速度的平方相等，則小球到達(dá)B點(diǎn)的速度與小球的質(zhì)量無關(guān)，綜上可知，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v與高度h有關(guān)，且v2=k1h；（2）表格二：

由三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，軌道半徑的變化數(shù)據(jù)和v2的變化倍數(shù)相等，則小球在B點(diǎn)的速度v2與軌道半徑r成正比，設(shè)為v2=kr，把v2=7．5m2/s2、r=0．15m代入可得，k=50m/s2，小球在B點(diǎn)的速度v與軌道半徑r的關(guān)系式為v2=50m/s2×r；（3）由表格一數(shù)據(jù)可知，當(dāng)v2=4．0m2/s2時(shí)h=0．2m，則k1=v2/h=20m/s2，小球從A點(diǎn)沿光滑軌道自由運(yùn)動，恰好通過C點(diǎn)時(shí)，由v2=50m/s2×r可得，B點(diǎn)的速度平方：vB2=50m/s2×r=50m/s2×0．4m=20m2/s2，由v2=k1h可得，小球下落的高度：hB=vB2/k1=1m。