Question

（2013?楊浦區(qū)三模）如圖所示，甲乙兩薄壁柱形容器放在水平桌面上，它們的高度均為0.5米，底面積分別為1×10^-2米²和2×10^-2米²，容器中分別盛有質(zhì)量相同的A、B兩種液體，且兩液面到容器底的距離都是0.1米．已知B液體的密度為0.8×10³千克/米³．求：
（1）B液體的質(zhì)量？
（2）若在A、B兩液體中分別浸沒甲球和乙球，使液體對容器底部的壓強(qiáng)相等，請計算甲乙兩球的體積之間須滿足的關(guān)系及它們的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知B液體的深度和容器的底面積，可求B液體的體積，再利用公式m=ρV可求B液體的質(zhì)量．
（2）求出A液體的體積，知道兩液體的質(zhì)量相同，可求A液體的密度，將甲球和乙球分別浸沒在A、B兩液體中，求出AB液體的深度，利用p=ρgh求AB液體對容器底的壓強(qiáng)，而液體對容器底部的壓強(qiáng)相等，據(jù)此得出甲球和乙球的體積關(guān)系；
根據(jù)容器高度和原來液體深度，可求兩個容器增大的最大體積，即兩球的最大體積，根據(jù)甲球和乙球的體積關(guān)系確定兩球體積的取值范圍．

解答：解：
（1）B液體的體積：
V_B=S_乙h=2×10^-2m²×0.1m=2×10^-3m³，
∵ρ=

m

V

，
∴B液體的質(zhì)量：
m_B=ρ_BV_B=0.8×10³kg/m³×2×10^-3m³=1.6kg，
（2）A液體的體積：
V_A=S_甲h=1×10^-2m²×0.1m=1×10^-3m³，
∵m_A=m_B=1.6kg，
∴ρ_A=

mA

VA

=

1.6kg

1×10-3m3

=1.6×10³kg/m³，
設(shè)甲球和乙球體積分別為V_甲、V_乙，
將甲球和乙球分別浸沒在A、B兩液體中，
A液體的深度：
h_A=

VA+V甲

SA

=

1×10-3m3+V甲

1×10-2m2

，
A液體對容器底的壓強(qiáng)：
p_A=ρ_Agh_A=1.6×10³kg/m³×10N/kg×

1×10-3m3+V甲

1×10-2m2

，
B液體的深度：
h_B=

VB+V乙

SB

=

2×10-3m3+V乙

2×10-2m2

，
B液體對容器底的壓強(qiáng)：
p_B=ρ_Bgh_B=0.8×10³kg/m³×10N/kg×

2×10-3m3+V乙

2×10-2m2

，
使液體對容器底部的壓強(qiáng)相等，p_A=p_B，
即：1.6×10³kg/m³×10N/kg×

1×10-3m3+V甲

1×10-2m2

=0.8×10³kg/m³×10N/kg×

2×10-3m3+V乙

2×10-2m2

，
∴V_乙=4V_甲+2×10^-3m³，
甲球的最大體積：
V_甲最大=S_甲×（0.5m-0.1m）=1×10^-2m²×0.4m=4×10^-3m³，
乙球的最大體積：
V_乙最大=S_乙×（0.5m-0.1m）=2×10^-2m²×0.4m=8×10^-3m³，
∴V_乙＜8×10^-3m³，
V_甲=

V乙-2×10-3m3

4

＜

8×10-3m-3 -2×10-3m3

4

=1.5×10^-3m³．
答：（1）B液體的質(zhì)量為1.6kg；
（2）甲乙兩球的體積之間須滿足的關(guān)系為V_乙=4V_甲+2×10^-3m³，它們的取值范圍V_甲＜1.5×10^-3m³、V_乙＜8×10^-3m³．

點評：本題考查了學(xué)生對密度公式、液體壓強(qiáng)公式的掌握和運(yùn)用，利用液體對容器底部的壓強(qiáng)相等得出甲球和乙球的體積關(guān)系是本題的關(guān)鍵．