Question

千年疑案再探2000多年前阿基米德巧斷皇冠案至今仍為人津津樂道，但是小明學過密度知識以后，經(jīng)過探究，作出如下陳述．
（一）情景再現(xiàn)
2000多年前，敘拉古的國王命令一個工匠替他打造一頂皇冠．國王給了工匠他所需要的數(shù)量的黃金．工匠的手藝非常高明，制做的皇冠精巧別致，而且質量跟當初國王所給的黃金一樣大．可是，有人向國王報告說：“工匠制造皇冠時，私下吞沒了一部分黃金，把同樣重的銀子摻了進去．”國王聽后，也懷疑起來，就把阿基米德找來，讓他想法判定一下．
阿基米德對國王說：“請允許我先做一個實驗，才能把結果報告給你．”國王同意了．阿基米德把金王冠放入一個盛滿水的桶中，測出溢出水的體積．然后把等質量的純金也放入這個盛滿水的桶中，測出溢出水的體積．發(fā)現(xiàn)前者大于后者，說明皇冠的密度比金塊的密度小，這就證明皇冠不是用純金制造的．”阿基米德有條理的講述，使國王信服了．于是國王將那個工匠抓拿歸案．
（二）收集證據(jù)并作如下假設：皇冠總質量為1000g，金匠摻了300g的銀（因為如果超過這個比例，皇冠的顏色會有明顯變化），阿基米德用的桶橫截面積為400cm²．已知ρ_金=19.3g/cm³，ρ_銀=10.6g/cm³．
疑點一：計算1000g純金的體積是多少？摻了300g銀的皇冠體積是多少？兩者浸沒在桶中使水面上升的高度相差多少？
疑點二：假如純金皇冠體積與摻了300g銀的皇冠體積相等，則空心部分體積是多少？
（三）總結陳詞：根據(jù)疑點一計算的高度相差值非常

小

（填“小”或“大”），難以精確測量，另外還要考慮液體表面張力、人為因素等造成的誤差，所以懷疑阿基米德的實驗的可靠性，根據(jù)疑點二如果匠人在制作的時候有意或無意的制作一些空心部分，則肯定會因此而有滅頂之災．所以認為匠人有罪的證據(jù)不足，應予以重新測量．
㈣如果皇冠（直徑約20cm）是實心的，利用托盤天平1（稱量500g）、托盤天平2（稱量2000g）、量筒1（250ml最小分度值20ml）、量筒2（100ml最小分度值1ml）、大容器（直徑25cm）、滴管等實驗器材測量皇冠的密度．
選擇器材：

托盤天平2

、

量筒2

、大容器（直徑25cm）、滴管等
實驗步驟（可以配圖說明）：
最后表達式：ρ_皇冠=

ρ=

m

V2-V1

影響實驗精確的因素有：

細線的粗細

（寫出一點即可）
（五）請你對這次《千年疑案再探》談談你的想法．
1．對于小明所提出的兩個疑點，你的想法是

這種方法不是很精確

．
2．對于小明的這種質疑精神，你的想法是

積極鼓勵表揚

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給出的皇冠的質量是1000g和金的密度，利用V=

m

ρ

可求出1000g純金的體積；
求出300g白銀的體積加上700g金的體積即為摻了300g銀的皇冠體積；
摻了白銀的皇冠體積減去純金的皇冠體積，再除以阿基米德用的桶橫截面積，即為兩者浸沒在桶中使水面上升的高度差．
（2）摻了白銀的皇冠體積減去純金的皇冠體積，即為空心部分體積：
（3）根據(jù)疑點一計算的高度相差值（0.0319cm）來作答；
（4）要測物體的密度，首先要測質量和體積，根據(jù)題中提供的托盤天平的最大稱量范圍和量筒的量程來選擇；
實驗的關鍵是測出皇冠的體積，可用細線把它捆在一起浸入水中，該實驗還需要的輔助器材有細線．
用排水法測體積．液體表面張力、人為因素等造成的誤差，讀取體積時有可能出現(xiàn)誤差．
（5）一個定理或公式的確定，是科學家經(jīng)過無數(shù)次的實驗總結得出，因此對于這個《千年疑案再探》，僅憑一次實驗是不能作出結論的，而且在實驗中要考慮多方面要考慮多方面造成的誤差，不過對小明這種勇于探索的精神應給予肯定．言之有理即可．

解答：解：（一）V=

m

ρ

=

1000g

19.3g/cm3

=51.81cm³，
300g白銀的體積為：V₁=

m白銀

ρ白銀

=

300g

10.6g/cm3

=28.30cm³，
金的體積為V₂=

m金

ρ金

=

1000g-300g

19.3g/cm3

=36.27cm³，
摻了300g銀的皇冠體積為V'=V₁+V₂=28.30cm³+36.27cm³=64.57cm³，
兩者浸沒在桶中使水面上升的高度差h=

V′-V

s

=

64.57cm3-51.81cm3

400cm2

=0.0319cm．
答：1000g純金的體積是51.81cm³．摻了300g銀的皇冠體積為64.57cm³．兩者浸沒在桶中使水面上升的高度相差0.0319cm．
（二）V-V'=64.57cm³-51.81cm³=12.76cm³．
答：空心部分體積是12.76cm³．
（三）由計算的高度相差值為0.0319cm．可知高度相差值非常小
（四）要測物體的密度，首先要選擇測物體的質量的儀器：托盤天平，測物體體積的儀器量筒，由皇冠的質量和體積可知，選擇托盤天平2和量筒2．
實驗步驟：
（1）用天平稱出皇冠的質量m；
（2）將量筒內裝入一定體積的水，記下水位位置的讀數(shù)V₁；
（3）把皇冠用細線栓在一起，放入量筒內，讓皇冠全部浸入水中，再記下水面的位置的讀數(shù)V₂；
（5）皇冠的密度表達式 ρ=

m

V

=

m

V2-V1

．
故答案為：托盤天平2；  量筒2；ρ=

m

V2-V1

．
影響實驗精確的因素很多，例細線要盡量細，從而減小體積測量的誤差．
（五）對于小明所提出的兩個疑點，他的這種方法不是很精確．不過對于小明的這種質疑精神，應積極鼓勵表揚．
故答案為：這種方法不是很精確；積極鼓勵表揚．

點評：此題考查了空心、混合物的密度計算，同時還考查了測量密度實驗，排水法測體積是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，本題重現(xiàn)排水法的歷史淵源，并強化測固體密度的基本方法，學習中不僅要掌握測固體密度的基本方法：用天平測質量，根據(jù)排水法用量筒測密度，用ρ=

m

V

計算密度，還要掌握用數(shù)學公式、排油法、排沙法等測固體體積．是一道好題！