Question

已知，如圖，過點(diǎn)A、O的圓與y軸相交于一點(diǎn)C，與AB相交于一點(diǎn)E，直線AB的解析式為y=kx+4k，過點(diǎn)A、O的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P．
（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，

4

3

3

），AC平分∠BAO，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若AC=

2

OE，且點(diǎn)P在AB上，是否存在實(shí)數(shù)m，對于拋物線y=ax²+bx+c上任意一點(diǎn)M（x，y），都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�AB的解析式為y=kx+4k，設(shè)y=0可得直線和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用銳角三角函數(shù)和已知條件可求出角BAO的度數(shù)，再解直角三角形ABO即可求出OB的長，進(jìn)而求出B的坐標(biāo)；
（2）利用有兩對角相等的三角形相似可先證明△ACB∽△OEB，利用已知條件求出角BA0的度數(shù)，進(jìn)一步得到三角形AOB是等腰直角三角形，進(jìn)而得到直線的解析式，又因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)在P在直線上，可求出a的值，設(shè)任意一點(diǎn)M（x，y），能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立，由拋物線的解析式和已知等式即可求出m的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，

4

3

3

），
∴OC=

4 3

3

，
∵直線AB的解析式為y=kx+4k，設(shè)y=0，
∴x=-4，
∴A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴AO=4，
∵tan∠CAO=

OC

AO

=

3

3

，
∴∠CAO=30°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠BAO=60°，
∴BO=AO•tan60°=4×

3

=4

3

，
∴B（0，4

3

）；
（2）∵∠B=∠B，∠BAC=∠BOE，
∴△ACB∽△OEB，
∴

AC

EO

=

AB

BO

，
∵AC=

2

OE，
∴

BO

AB

=

2

2

，
∵sin∠BAO=

BO

AB

=

2

2

，
∴∠BAO=45°，
∴AO=BO=4，
∴B坐標(biāo)為（4，0）
把B坐標(biāo)為（4，0）代入y=kx+4k得：k=1，
∴直線AB的解析式為y=x+4，
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、O，
∴可設(shè)y=a（x-0）（x+4）=a（x²+4x+4）-4a=a（x+2）²-4a，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-4a），
∵頂點(diǎn)P在直線上，
∴-2+4=-4a，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+2）²+2，
設(shè)任意一點(diǎn)M（x，y），能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立，
則（x+2）²=（y-2-m）²-（y-2+m）²成立，
∴（x+2）2=2（y-2）（-2m）
又∵y=-

1

2

（x+2）²+2，
∴（x+2）2=4-2y，
∴4-2y=-4my+8m，
∴4=8m，-2y=-4my，
∴m=

1

2

，
即存在m=

1

2

，對于拋物線y=-

1

2

（x+2）²+2上任意一點(diǎn)，都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和x軸交的問題、求二次函數(shù)得解析式、特殊角的三角函數(shù)、角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)以及存在性問題，題目的綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力要求很高．