Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：______．
（2）引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：______．并證明你的結(jié)論．
（3）運(yùn)用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是______cm²．

Answer 1

解：（1）相等；

（2）相等，
證明：如圖，延長BA到點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EP⊥BP于點(diǎn)P；
延長AD到點(diǎn)Q，過點(diǎn)G作GQ⊥AQ于點(diǎn)Q．
∴∠P=∠Q=90°
∵四邊形AGFE，ABCD均為正方形
∴AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△APE≌△AQG（AAS）
∴EP=GQ
又∵S_△ABE=AB•EP
S_△AGD=AD•GQ
∴S_△ABE=S_△AGD

（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，
若圖中陰影部分的面積和的最大值，則三角形ABC的面積最大，
∴△ABC是直角三角形，∠B是直角，
∴S_{陰影部分面積和}=3S_△ABC=3×3×5÷2=22.5cm²，
故答案為：相等；相等；22.5．
分析：（1）由于當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時(shí)，根據(jù)圖形和三角形的面積公式容易得到△ABE與△ADG的面積關(guān)系；
（2）相等．如圖延長BA到點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EP⊥BP于點(diǎn)P；延長AD到點(diǎn)Q，過點(diǎn)G作GQ⊥AQ于點(diǎn)Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四邊形AGFE，ABCD均為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，這樣得到∠1=∠3，然后就可以證明△APE≌△AQG，接著得到EP=GQ，然后利用三角形的面積公式即可證明題目的問題；
（3）根據(jù)（2）的幾個(gè)可以得到三個(gè)陰影部分的面積都和三角形ABC的面積相等，而AB=5cm，BC=3cm，若圖中陰影部分的面積和的最大值，則三角形ABC的面積最大，則其是直角三角形即可求解．
點(diǎn)評：此題分別考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，要求學(xué)生熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識才能很好解決問題．