Question

如圖，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，點(diǎn)P是斜邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PF⊥AC于點(diǎn)F，垂足分別為E、F．
（1）求證：四邊形PECF是矩形；
（2）想一想，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么地方時(shí)，△APF與△PBE全等，證明你的猜想；
（3）想一想，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么地方時(shí)，四邊形PECF是正方形，證明你的猜想；
（4）想一想，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么地方時(shí)，四邊形PECF的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）知道什么是矩形即可求解，即確定四個(gè)角都是直角即可．
（2）若使兩三角形全等，因?yàn)槎际侵苯侨�角形，且PF∥BC，只需一條邊相等即可，即P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)位置時(shí)，兩條斜邊相等．
（3）由（1）知四邊形PECF是矩形，要使其為正方形，只需相鄰兩條邊相即可．先假設(shè)其兩鄰邊相等，即PE=PF，在假設(shè)其為一未知量x，通過(guò)相似三角形求其具體的值．
（4）這一問(wèn)涉及二次函數(shù)求最值問(wèn)題，可先假設(shè)AP=x，由△APF∽△ABC，求出x的值，進(jìn)而求出其最大面積，即P點(diǎn)移動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)的面積為最大．

解答：解：（1）證明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°（1分）
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形PECF是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）；（2分）

（2）P運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，△APF與△PBE全等（3分）
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A（4分）
同理∠APF=∠B，
若點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)則有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

（3）當(dāng)AP=

15

7

時(shí)，四邊形PECF是正方形，
由（1）知四邊形PECF是矩形，若四邊形PECF是正方形，
則有PE=PF，設(shè)PE=PF=x，
則CF=x，AF=3-x，（6分）
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，（7分）
∴

PF

AF

=

BC

AC

=

4

3

，即

x

3-x

=

4

3

，
解得x=

12

7

，
經(jīng)檢驗(yàn)x=

12

7

是方程的根，
∴AF=3-x=

9

7

，CF=x=

12

7

，
在Rt△AFP中，根據(jù)勾股定理得：AP=

AF2+PF2

=

15

7

，
即當(dāng)AP=

15

7

時(shí)，PE=PF=

12

7

，
矩形PECF是正方形；

（4）當(dāng)AP=

5

2

時(shí)，四邊形PECF的面積最大．
由（1）知四邊形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=5，（9分）
設(shè)AP=x，則由△APF∽△ABC可得：

PF

AP

=

BC

AB

=

4

5

，即PF=

4

5

x，

AF

AP

=

AC

AB

=

3

5

，即AF=

3

5

x，
∴PE=3-

3

5

x，
∴S_矩形PECF=PF•FC=

4

5

x（3-

3

5

x）（10分）
∵

4

5

x（3-

3

5

x）=-

12

25

（x-

5

2

）²+3，
∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)四邊形PECF的面積最大，最大值為3．（11分）

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正方形及矩形的性質(zhì)及判定，理解直角三角形勾股定理的概念，能夠求解二次函數(shù)的最值問(wèn)題．