Question

【題目】如圖，在中，，.點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，與過點(diǎn)且垂直于的直線相交于點(diǎn)，連結(jié).給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則；③當(dāng)、、、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，；④若，則.其中正確的結(jié)論序號是（ ）

A. ①②B. ①②③C. ③④D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

(1)由△AFG∽△BFC，可確定結(jié)論①正確；

(2)先證明△ABG≌△BCD（ASA），得到AG＝BD，再通過點(diǎn)是的中點(diǎn)，利用（1）中得到的，得到，在Rt△ABC中，可得AC=AB，即可得到AF＝AB，故結(jié)論②正確；

（3）當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠2＝∠ACB由于∠ABC＝90°，AB＝BC，得到∠ACB＝∠CAB＝45°，于是得到∠CFD＝∠AFD＝90°，根據(jù)垂徑定理得到DF＝DB，故③正確；

（4）因?yàn)?/span>＝，所以AF＝AC ，，所以S△ABF＝S△ABC，又S△BDF＝S△ABF，所以S△ABC＝12S△BDF，由此確定結(jié)論④錯(cuò)誤．

解：

(1)∵，

∴BC∥AG，

∴∠G=∠FBC

∠GAF=∠FCB

∴△AFG∽△BFC，

∴，

又AB＝BC，

∴．

故結(jié)論①正確；

(2)如圖，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，

∴∠3＝∠4．

在△ABG與△BCD中，

∴△ABG≌△BCD（ASA），

∴AG＝BD，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴AG＝BD=AB=BC

∴

∴

∵在Rt△ABC中，AB=BC

∴AC=AB

∴AF＝AB

故結(jié)論②正確；

（3）當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，

∴∠2＝∠ACB，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝∠CAB＝45°，

∴∠2＝45°，

∴∠CFD＝∠AFD＝90°，

∴CD是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，

∵BG⊥CD，

∴DF與BD對應(yīng)的弧相等，

∴DF＝DB，故③正確；

(4)∵，AG＝BD，，

∴，

∴

∴AF＝AC，

∴S△ABF＝S△ABC，

∴S△BDF＝S△ABF，

∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．

故結(jié)論④錯(cuò)誤；

正確的是①②③，故選：B．