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        1. 如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,P是邊AB(不含端點(diǎn))上的動點(diǎn),過P作BC的垂線PR,R為垂足,∠PRB的平分線與AB相交于點(diǎn)S.已知在線段RS上存在一點(diǎn)T,若以線段PT為一邊作正方形PTEF,其頂點(diǎn)E、F恰好分別在邊BC、AC上.
          (1)證明:△SBR∽△ABC;
          (2)證明:ST=AP;
          (3)設(shè)AB=1,PA=x,正方形PTEF的面積為y,試求y與x的函數(shù)關(guān)系,并求出x的取值范圍.

          (1)證明:∵PR⊥BC,RS是∠PRB的平分線,
          ∴∠BRS=45°,
          ∵△ABC是等腰直角三角形,
          ∴∠BRS=45°=∠C,∠B=∠B,
          ∴△SBR∽△ABC;

          (2)證明:在△SPT和△AFP中,
          ∵TP=PF,
          由(1)知:∠PST=∠FAP=90°,
          又∵∠SPT+∠APF=∠APF+∠AFP=90°,
          ∴∠SPT=∠AFP,
          ∴△SPT≌△AFP,
          ∴ST=AP;

          (3)解:∵AP=x,
          ∴BS=PS=,
          由(2)知:ST=AP=x,
          ∴正方形PTEF的面積y=PT2=PS2+ST2=(2+x2=x2-x+,
          由圖知,ST≤SP,即x≤,
          ∴x≤,
          ∴x的取值范圍是:0<x≤
          分析:(1)首先由PR⊥BC,RS是∠PRB的平分線,易證△ABC是等腰直角三角形,則可證得∠BRS=45°=∠C,根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,即可證得:△SBR∽△ABC;
          (2)根據(jù)AAS即可證得△SPT≌△AFP,又由全等三角形的對應(yīng)邊相等,即可證得ST=AP;
          (3)根據(jù)題意分別求得:BS,PS,ST,AP的值,又由勾股定理即可求得正方形PTEF的面積,由ST≤SP,即可求得x的取值范圍.
          點(diǎn)評:此題考查了全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì),以及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.題目難度適中,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
          (1)求證:BC是⊙O的切線;
          (2)若CD=6,AC=8,求AE.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
          (1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
          (2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
          (3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
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          ,則cos∠CBD的值是( 。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動,到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
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          cm/s的速度運(yùn)動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時,過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(s).
          (1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時,線段DP的長為
          (t-2)
          (t-2)
          cm,(用含t的代數(shù)式表示).
          (2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時,求t的值.
          (3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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          同步練習(xí)冊答案