Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③BG=GC；④AG∥CF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
設(shè)BG=x，則CG=BC﹣BG=6﹣x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2 ，
∵CG=6﹣x，CE=4，EG=x+2
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，∴③正確；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF，∴④正確；
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE，
∴∠DAE=∠FAE，
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF= ×90°=45°，∴②正確；
故選A．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．