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        1. (2012•永州)如圖所示,已知二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a≠0)的圖象過點(diǎn)A(2,0)和B(4,3),l為過點(diǎn)(0,-2)且與x軸平行的直線,P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過P作PH⊥l,H為垂足.
          (1)求二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a≠0)的解析式;
          (2)請直接寫出使y<0的對應(yīng)的x的取值范圍;
          (3)對應(yīng)當(dāng)m=0,m=2和m=4時,分別計(jì)算|PO|2和|PH|2的值.由此觀察其規(guī)律,并猜想一個結(jié)論,證明對于任意實(shí)數(shù)m,此結(jié)論成立;
          (4)試問是否存在實(shí)數(shù)m可使△POH為正三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a≠0)的圖象過點(diǎn)A(2,0)和B(4,3),待定系數(shù)法求出a和b的值,拋物線的解析式即可求出;
          (2)令y=ax2+bx-1=0,解出x的值,進(jìn)而求出使y<0的對應(yīng)的x的取值范圍;
          (3)分別求出當(dāng)m=0,m=2和m=4時,分別計(jì)算|PO|2和|PH|2的值.然后觀察其規(guī)律,再進(jìn)行證明;
          (4)由(3)知OP=PH,只要OH=OP成立,△POH為正三角形,求出|OP|、|OH|含有m和n的表達(dá)式,令兩式相等,求出m和n的值.
          解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a≠0)的圖象過點(diǎn)A(2,0)和B(4,3),
          4a+2b-1=0
          16a+4b-1=3
          ,
          解得a=
          1
          4
          ,b=0,
          ∴二次函數(shù)的解析式為y=
          1
          4
          x2-1;

          (2)令y=
          1
          4
          x2-1=0,
          解得x=-2或x=2,
          由圖象可知當(dāng)-2<x<2時y<0;

          (3)當(dāng)m=0時,|PO|2=1,|PH|2=1;
          當(dāng)m=2時,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),|PO|2=4,|PH|2=4,
          當(dāng)m=4時,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3),|PO|2=25,|PH|2=25,
          由此發(fā)現(xiàn)|PO|2=|PH|2,
          設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),即n=
          1
          4
          m2-1
          |OP|=
          m2+n2

          |PH|2=n2+4n+4=n2+m2,
          故對于任意實(shí)數(shù)m,|PO|2=|PH|2;

          (4)由(3)知OP=PH,只要OH=OP成立,△POH為正三角形,
          設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),|OP|=
          m2+n2
          ,
          |OH|=
          4+m2

          |OP|=|OH|,即n2=4,解得n=±2,
          當(dāng)n=-2時,n=
          1
          4
          m2-1不符合條件,
          故n=2,m=±2
          3
          時可使△POH為正三角形.
          點(diǎn)評:本題主要考查二次函數(shù)的綜合題,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖形特征和性質(zhì),特別是(3)問的解答很關(guān)鍵,是解答(4)問的墊腳石,此題難度一般.
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