Question

【題目】P是以AB為直徑的半圓上一動點（P與A、B不重合），O為圓心，CO⊥AP，OC、BC與AP分別相交于D、E兩點，AB＝12．

（1）若∠ABC＝35°，求∠PAB的度數(shù)；

（2）若AP平分線段BC，求弦AP的長度；

（3）是否存在點P，使△PBC的面積為整數(shù)，如果存在，這樣的P點有幾個？（直接寫出結(jié)果，不需寫出解題過程．）

Answer 1

【答案】（1）20°（2）8（3）35

【解析】

（1）連接BP，CP，OP，根據(jù)圓周角定理和垂徑定理進行計算即可；

（2）通過證明三角形全等得出線段CD與OD的關(guān)系，進而求出BP，運用勾股定理求解即可；

（3）把S△BPC轉(zhuǎn)化為S△BOP，進而進行分析即可．

如圖連接BP，CP，OP，

（1）∵∠ABC＝35°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，

∵CO⊥AP，

∴∠PAB＝90°﹣70°＝20°；

（2）∵AB是圓的直徑，

∴BP⊥AP，

∵CO⊥AP，

∴OC∥BP，∠CDE＝∠BPE＝90°，

∵CE＝BE，∠CED＝∠BEP，

∴△BPE≌△CDE，

∴CD＝BP，

∵AO＝BO，OC∥BP，

∴2OD＝BP，

∴CD＝2OD，

∵OC＝AB＝6，

∴OD＝2，BP＝4，

由勾股定理可得，AP＝＝＝8；

（3）∵OC∥BP，

∴S△BPC＝S△BOP，

∵OB＝6，

∴當(dāng)點P到OB距離為，，…，6時，S△BPC為整數(shù)，

∴這樣的P點有35個．

故答案為：（1）20°（2）8（3）35