Question

如圖，已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，CE平分∠DCO交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)E平分弧ADB；
（2）若⊙O的半徑為2，CD=2

3

．
①求點(diǎn)O到弦AC的距離；
②在圓周上，共有幾個(gè)點(diǎn)到直線AC的距離為1的點(diǎn)，在圖中畫出這些點(diǎn)，并指出△AOC的外接圓的圓心的位置；
③若圓上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，順時(shí)針方向在圓上運(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)S_△POA=S_△AOC時(shí)，求點(diǎn)P所走過的弧長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，首先證明OE∥CD，進(jìn)而得出∠AOE=∠EOB=90°，即可得出點(diǎn)E平分弧ADB；
（2）①過O點(diǎn)作OF⊥AC于F，則AF=CF，進(jìn)而得出CH=DH=

1

2

CD=

3

，進(jìn)而得出∠OAC的度數(shù)，即可得出答案；
②利用已知得出共有三個(gè)點(diǎn)，其一是延長OF交⊙O于M點(diǎn)，另外過O點(diǎn)作AC的平行線交⊙O于點(diǎn)N、K，共有三個(gè)點(diǎn)；
③當(dāng)S_△POA=S_△AOC時(shí)，點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn)滿足S_△POA=S_△AOC分別是∠AOP=60°、120°、240°、300°進(jìn)而求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，連接OE，
∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，
又∵CE平分∠OCD，∴∠OCE=∠ECD，
∴∠OEC=∠ECD，∴OE∥CD，
∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，
即∠AOE=∠EOB=90°，
∴弧AE=弧EB，
即點(diǎn)E平分弧ADB；

（2）解：①如圖1，過O點(diǎn)作OF⊥AC于F，則AF=CF．
∵CD⊥AB于H，∴CH=DH=

1

2

CD=

3

．
在Rt△OCH中，∵OH=

4-3

=1，∴∠COH=60°，
∴∠OAC=30°，∴OF=

1

2

OA=1；

②共有三個(gè)點(diǎn)，其一是延長OF交⊙O于M點(diǎn)，
另外過O點(diǎn)作AC的平行線交⊙O于點(diǎn)N、K，故共有三個(gè)點(diǎn)．
△AOC的外心就是點(diǎn)M；

③∵∠AOC=120°，
∴點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn)滿足S_△POA=S_△AOC，
分別是∠AOP=60°、120°、240°、300°，
∴弧AP的長分別為：

60π×2

180

=

2π

3

，

120π×2

180

=

4π

3

，

240π×2

180

=

8π

3

，

300π×2

180

=

10

3

π．

點(diǎn)評：此題主要考查了垂徑定理以及弧長公式的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及三角形外心的性質(zhì)等知識，結(jié)合圖形得出符合題意的點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．