Question

如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA．若DE=acm，BD=bcm（a＞b），則CD=

a-b

cm．

Answer 1

分析：在DE上截取DF=CD，先求出∠DAB=∠DBA=30°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AD=BD，再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACD=∠BCD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CDE=60°，從而判定出△CDF是等邊三角形，再求出∠ECF=∠ACD=45°，利用“邊角邊”證明△ACD和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=EF，然后求解即可．

解答：解：如圖，在DE上截取DF=CD，
∵∠CAD=∠CBD=15°，等腰直角△ABC中AC=BC，
∴∠DAB=∠DBA=45°-15°=30°，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，

AC=BC ∠CAD=∠CBD=15° AD=BD

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

×90°=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴∠ECF=180°-15°×2-45°-60°=45°，
∴∠ECF=∠ACD，
在△ACD和△ECF中，

AC=CE ∠ECF=∠ACD CD=CF

，
∴△ACD≌△ECF（SAS），
∴EF=AD，
∵DE=acm，BD=bcm，
∴CD=DF=DE-AD=a-b．
故答案為：a-b．

點(diǎn)評：本題考查了等角對等邊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．