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        1. 【題目】如圖,將邊長(zhǎng)為4的正方形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在邊OA上從O向A運(yùn)動(dòng),連接CP交對(duì)角線OB于點(diǎn)Q,連接AQ.
          (1)求證:△OCQ≌△OAQ;
          (2)當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( , )時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)若點(diǎn)P在邊OA上從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后,再繼續(xù)在邊AB上從A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,在整個(gè)過運(yùn)動(dòng)過程中,若△OCQ恰為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

          【答案】
          (1)證明:∵四邊形OCBA是正方形,

          ∴OC=OA,∠COD=∠AOD=45°,

          在△OCD和△OAD中 ,

          ∴△OCD≌△OAD(SAS),


          (2)解:∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( , ),

          ∴OQ= ,

          在正方形OABC中,BC∥OA,OC=BC=4,

          ∴OB=4 ,

          ∴BQ=OB﹣OQ= ,

          ∵BC∥OA,

          ∴△OQP∽△BQC,

          ,

          ∴OP=2,

          ∴P(2,0);


          (3)解:解:分為三種情況:

          ①OC=OD時(shí),如圖1,

          ∴OD=4,

          ∵OB=4 ,

          ∴BD=OB﹣OD=4 ﹣4,

          ∵∠BOC=45°,

          ∴∠OCP=67.5°,

          ∴點(diǎn)P在AB上,

          ∵OC∥AB,

          ∴△ODC∽△BDP,

          ,

          ∴BP=4 ﹣4,

          ∴AP=AB﹣BP=4﹣(4 ﹣4)=8﹣4 ,

          ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,8﹣4 );

          ②CD=OD時(shí),如圖2,

          ∵∠BOC=45°,

          ∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),

          ∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,

          ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,0);

          ③OC=CD時(shí),

          ∴∠CDO=∠COD=45°.

          ∴∠OCD=90°,

          ∴點(diǎn)P和點(diǎn)B重合,

          ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,4).

          即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,8﹣4 )或(4,0)或(4,4).


          【解析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)推出OC=OA,∠COD=∠AOD=45°,根據(jù)SAS證明三角形全等即可;(2)先求出OB,OQ,進(jìn)而判斷出△OQP∽△BQC,即可得出結(jié)論.(3)分為三種情況:①OC=OD時(shí),②CD=OD時(shí),③OC=CD時(shí),根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和相似求出即可.
          【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)才能正確解答此題.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          3)按上述鋪設(shè)方案,鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時(shí)n的值;

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          (3)如果點(diǎn)PA,B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng),試探究∠1,2,3之間的關(guān)系(點(diǎn)PA,B不重合).

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