Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求a的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點(diǎn)M，使△AMC與△ABC的面積相等；
（3）設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一點(diǎn)N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

（1）。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）。
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣9，﹣4）。
（3）在拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大。理由見解析。

分析：（1）先把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）先由拋物線的解析式，求出與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由△AMC與△ABC的面積相等，得出這兩個(gè)三角形AC邊上的高相等，又由點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方，得出BM∥AC，則點(diǎn)M既在過B點(diǎn)與AC平行的直線上，又在拋物線上，所以先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+2，再設(shè)直線BM的解析式為y=x+n，將點(diǎn)B（3，0）代入，求出n的值，得到直線BM的解析式為，然后解方程組，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。
（3）連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=﹣于點(diǎn)N，連接AN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時(shí)d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再將x=﹣代入，求出y的值，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可。
解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），
∴，解得。
∴。
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）。
（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）。
又∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）。
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則，解得：。
∴直線AC的解析式為y=x+2。
∵S_△AMC=S_△ABC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)M到AC的距離相等。
又∵點(diǎn)B與點(diǎn)M都在AC的下方，∴BM∥AC。
設(shè)直線BM的解析式為y=x+n，將點(diǎn)B（3，0）代入，得×3+n=0，解得n=﹣1。
∴直線BM的解析式為．
由，解得，。
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣9，﹣4）。
（3）在拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大。理由如下：
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。
連接BC并延長，交直線x=﹣于點(diǎn)N，連接AN，則AN=BN，此時(shí)d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大。

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，解得：。
∴直線BC的解析式為y=x+2。，
當(dāng)x=﹣時(shí)，y=-×（﹣）+2=3。
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，3），d的最大值為。