Question

（2012•桂平市三模）如圖，直線AC∥BD，⊙O與AC和BD分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是AC和BD上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿AC和BD平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

• A．直線AC和BD的距離為2
• B．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切
• C．若MN與⊙O相切，則AM=

  3

• D．MN=

  4 3

  3

Answer 1

分析：A、根據(jù)切線的性質(zhì)知直線AC和BD的距離為該圓的半徑；
B、當(dāng)MN與圓O相切時(shí)，求出∠MON度數(shù)即可做出判斷；
C、當(dāng)MN與圓O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接OE，OM，利用切線長定理得到MA=ME，且MO為角平分線，求出∠AMO為30°，在直角三角形AOM中，由OA及tan30°，求出AM，即可做出判斷；
D、過M作MF垂直于BD，可得出MF=AB=2，在直角三角形MNF中，由∠MNF的度數(shù)及MF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出MN的長，即可做出判斷．

解答：解：A、∵⊙O與AC和BD分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴AB⊥AC，AB⊥BD，
∵AC∥BD，
∴A，O，B三點(diǎn)共線，
∴直線AC與BD間的距離為AB=2，本選項(xiàng)正確；
B、若∠MON=90°，則MN一定與⊙O相切，本選項(xiàng)正確；
C、當(dāng)MN與⊙O相切時(shí)切點(diǎn)為E點(diǎn)，連接OM，OE，
∴MA=ME，MO為∠AME平分線，
∵∠AME=60°，
∴∠AMO=30°，
在Rt△AOM中，OA=1，
∴AM=

1

tan30°

=

3

，
同理：AM=

3

3

，
∴AM=

3

或

3

3

本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、作MF⊥BD，
∵AC∥BD，
∴∠MNF=∠AME=60°，
∵M(jìn)F=AB=2，
在Rt△MNF中，MF=2，∠MNF=60°，
∴MN=

2

sin60°

=

4 3

3

，本選項(xiàng)正確；
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．