Question

如圖，⊙M的圓心在x軸上，與坐標軸交于A（0，

3

）、B（-1，0），拋物線y=-

3

3

x2+bx+c經過A、B兩點．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）設拋物線的頂點為P．試判斷點P與⊙M的位置關系，并說明理由；
（3）若⊙M與y軸的另一交點為D，則由線段PA、線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形PABD的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）將A（0，

3

）、B（-1，0）兩點坐標代入拋物線y=-

3

3

x²+bx+c中，解方程組可求b、c，確定拋物線解析式；
（2）連接MA，根據A、B兩點坐標，由勾股定理求圓的半徑，利用配方法求P點的縱坐標并與半徑比較，判斷點P與⊙M的位置關系；
（3）由于PM∥y軸，故S_△APD=S_△AMD，問題可轉化為求扇形AMD的面積．

解答：解：（1）將A（0，

3

）、B（-1，0）兩點坐標代入拋物線y=-

3

3

x²+bx+c中，得

c= 3 - 3 3 -b+c=0

，
解得

b= 2 3 3 c= 3

，
∴y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）連接MA，設⊙M的半徑為R，根據A、B兩點坐標可知，OA=

3

，OM=R-1
在Rt△OMA中，由勾股定理得，OA²+OM²=AM²，
即

3

²+（R-1）²=R²，
解得R=2，
∵y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4 3

3

，
∴PM=

4 3

3

＞2，即P點在⊙M外；

（3）∵PM∥y軸，
∴S_△APD=S_△AMD，
由線段PA、線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形PABD的面積即為扇形AMD的面積，
∵OM=1，AM=2，
∴∠AMO=60°，∠AMD=120°
∴S_扇形AMD=

120×π×22

360

=

4π

3

．

點評：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線的性質與圓的綜合運用，求圖形面積的問題，需要學會將圖形面積問題進行轉化．