Question

已知拋物線y=-x²+mx+3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．
（1）請(qǐng)分別求出點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出拋物線的草圖，若點(diǎn)E（-2，n）在直線BC上，試判斷點(diǎn)E是否在經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的圖象上，把你的判斷過(guò)程寫出來(lái)；
（3）若過(guò)點(diǎn)A的直線L與x軸所夾銳角a的正切值滿足tana≤，試求直線L與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵A（3，0）在y=-x²+mx+3上，則-9+3m+3=0，m=2
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
∴C（0，3）
∴B（-1，0）
配方，得：y=-（x-1）²+4
∴D（1，4）
∴B（-1，0），C（0，3），D（1，4）

（2）如圖，直線BC的解析式為：y=3x+3
∵點(diǎn)E（-2，n）在y=3x+3上
∴n=-3，E（-2，-3）
過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為：y=
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2≠-3
∴點(diǎn)E不在反比例函數(shù)的圖象上

（3）設(shè)直線L與拋物線的另一交點(diǎn)為P（m，n）
則n=-m²+2m+3
過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G．
∵tanα≤
當(dāng)tanα=時(shí)，則PG=AG，PG=|n|，AG=3-m
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，則n＞0，得方程-m²+2m+3=（3-m），解得：m₁=3（舍去），m₂=-
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，則n＜0，得方程-m²+2m+3=（3-m），解得：m₁=3（舍去），m₂=-
∴結(jié)合圖形，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：-≤m≤-且m≠-1
分析：（1）先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出拋物線的解析式，然后根據(jù)y=0就可以求出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，就可以求出與y軸的加點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后將拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）利用（1）的點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)就可以畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)B、C的坐標(biāo)可以求出BC的解析式，從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，最后代入過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式就可以確定是否在反比例函數(shù)的圖象上．
（3）先設(shè)出直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)值表示出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，在根據(jù)這一點(diǎn)的位置情況從兩種不同的情況就可以確定直線L與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，由解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷某個(gè)點(diǎn)是否在某個(gè)函數(shù)的圖象上及確定自變量的取值范圍．