Question

如圖，ABCD為平行四邊形，以BC為直徑的⊙O經(jīng)過點A，∠D=60°，BC=2，一動點P在AD上移動，過點P作直線AB的垂線，分別交直線AB、CD于E、F，設(shè)點O到EF的距離為t，若B、P、F三點能構(gòu)成三角形，設(shè)此時△BPF的面積為S．
（1）計算平行四邊形ABCD的面積；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）△BPF的面積存在最大值嗎？若存在，請求出這個最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC，
∵BC為直徑，
∴AC⊥AB，
在平行四邊形ABCD中，
∵∠D=60°，BC=2，
∴∠ABC=∠D=60°，AD=BC=2，
∴AB=，
由勾股定理，得AC=，
∴；

（2）作OH⊥AB于點H，
由（1）和垂徑定理知BH=，
∵O到EF的距離為t，
∴BE=，
在矩形ACFE中，CF=AE，AC=EF=，
∵AE=，
∴CF=，
在平行四邊形ABCD中，CD=AB=1，
∴DF=CD-CF==，
∵，
∴PF=，
∴S=PF•BE===（）；

（3）存在，由（2）知S=（），
得S=（），
∴當(dāng)t=時，S有最大值．
答：（1）平行四邊形ABCD的面積為；（2）S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍為；（3）△BPF的面積存在最大值，當(dāng)t=時，S有最大值．
分析：（1）要求平行四邊形ABCD的面積，已知底邊AB，再需證明AC為平行四邊形ABCD底邊AB上的高即可，并求得AC的大小．因此根據(jù)圓O為△ABC外接圓，BC為圓O的直徑，可得到AC⊥AB；根據(jù)∠D的大小得到∠B的大�。�在Rt△ABC中，根據(jù)邊角間的關(guān)系可求得AC、AB的值．進(jìn)而求得平行四邊形ABCD的面積．
（2）作OH⊥AB于點H，由（1）和垂徑定理知BH的大�。�要求△BPF的面積為S，需求底邊PF的值與高EB的值．要求PF的值可根據(jù)∠D與FD來求得，進(jìn)一步需求得CD與FC的大小，通過AB=CD、EA=FC，均用t來表示．而EB=EH+BH，也用t來表示，代入三角形面積公式即可．
（3）根據(jù)（2）中得出的函數(shù)式，利用配方法根據(jù)t的取值范圍，求得最大值．
點評：本題著重考查了二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、探究二次函數(shù)求極值等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．