Question

【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組利用大小不等、顏色各異的正方形硬紙片開展了一次活動，請認(rèn)真閱讀下面的探究片段，完成所提出的問題。

探究1：四邊形ABCD是邊長為1正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，小明看到圖（1）后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE與EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE與△FCE顯然不全等，考慮到點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，引條輔助線嘗試就行了，隨即小明寫出了如下的證明過程：證明：取AB的中點(diǎn)H，連接EH，證明△AHE與△ECF全等即可.

探究2：小明繼續(xù)探索，把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，如圖（2）其它條件不變，結(jié)論AE=EF是否成立呢？ （填是或否）

小明還想試試，把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長線上的任意一點(diǎn)”，如圖（3）其它條件不變，那么結(jié)論AE=EF是否還成立呢？ （填是或否），請你選擇其中一種完成證明過程給小強(qiáng)看。

探究3：在探究2結(jié)論AE=EF成立的情況下，如圖（4）所示的平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動到BC上某處時(shí)（不含B、C），點(diǎn)F恰好落在直線y＝-2x＋3上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】 (1)見解析;(2) F（ ，）.

【解析】分析：探究1：取AB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，證明△HAE≌△CEF即可；

探究2：①在AB上取點(diǎn)P，連接EP，同（1）的方法相似，證明△PAE≌△CEF即可；

②延長BA至H，使AH=CE，連接HE，證明△HAE≌△CEF即可．

探究3：設(shè)F（a，﹣2a+3），過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，如圖4，只要證明FG=FH，由此構(gòu)建方程即可解決問題；

詳解：探究1：如圖1，取AB的中點(diǎn)H，連接EH．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．

∵AH=EC，∴BH=BE，∴∠BHE=45°，∠AHE=135°．

∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF=135°．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．

在△HAE和△CEF中，∵，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF；

探究2：①結(jié)論：是．

理由：如圖2，在AB上取點(diǎn)P，連接EP．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．

∵AP=EC，∴BP=BE，∴∠BPE=45°，∠APE=135°．

∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF=135°．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△PAE和△CEF中，，∴△PAE≌△CEF，∴AE=EF；

②結(jié)論：是．

理由：如圖3，延長BA至H，使AH=CE，連接HE．

∵BA=BC，AH=CE，∴BH=BE，∴∠H=45°．

∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF=45°，∴∠H=∠ECF．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA，

∴∠HAE=∠CEF．

在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF．

探究3：②設(shè)F（a，﹣2a+3），過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，如圖4，

則CH=a﹣1，FH=﹣2a+3．

∵CF為角平分線，∴FH=CH，∴a﹣1=﹣2a+3，解得：a=．當(dāng)a=時(shí)，﹣2a+3=﹣2×+3=，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（）．