Question

（2007•西城區(qū)二模）如圖，地上有一圓柱，在圓柱下底面的A點處有一螞蟻，它想沿圓柱表面爬行．吃到上底面上與A點相對的B點處的食物（π的近似值取3，以下同）．
（1）當(dāng)圓柱的高h=12厘米，底面半徑r=3厘米時，螞蟻沿側(cè)面爬行時最短路程是多少；
（2）當(dāng)圓柱的高h=3厘米，底面半徑r=3厘米時，螞蟻沿側(cè)面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程是多少；
（3）探究：當(dāng)圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r時，螞蟻怎樣爬行的路程最短，路程最短為多少？

Answer 1

分析：（1）首先畫出圓柱的平面展開圖，求出CB長，再利用勾股定理可求出AB的長，即可求出螞蟻沿側(cè)面爬行時最短的路程．
（2）先根據(jù)（1）的方法求出AB的長，再根據(jù)螞蟻沿AC到上底面，再沿直徑CB爬行時，求出AC+BC的長，即可求出螞蟻沿側(cè)面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程．
（3）先根據(jù)在側(cè)面沿AB爬行時，得出路程S₁，再沿AC再經(jīng)過直徑CB時，得出路程S₂，再分兩種情況討論，當(dāng)S₁=S₂時兩種爬行路程一樣和當(dāng)S₁＞S₂時，得出4h＜（π²-4）r，再分別六種情況進行討論h和r之間的關(guān)系，得出螞蟻怎樣爬行的路程最短．

解答：解：將圓柱體展開，連接AB，
∵底面半徑r=3厘米，
∴CB=

1

2

×2π×3=3π≈9厘米，
∵圓柱的高h=12厘米，即AC=12厘米，
∴AB=

AC2+CB2

=

122+92

=15厘米．
答：螞蟻沿側(cè)面爬行時最短路程是15厘米．
（2）當(dāng)螞蟻沿側(cè)面爬行同（1）的方法：
∵AC=3，

BC

=3π≈9，
∴AB=

90

=3

10

．
當(dāng)螞蟻沿AC到上底面，再沿直徑CB爬行，有AC+BC=3+6=9．
因為

90

＞9，
所以最短路程是經(jīng)AC到上底面，再沿直徑CB爬行的總路程為9．
（3）在側(cè)面，沿AB爬行時，S₁=

h2+π2r2

，沿AC再經(jīng)過直徑CB時，
則S₂=h+2r．
當(dāng)S₁=S₂時，

h2+π2r2

=h+2r．
整理，得4h=（π²-4）r，由于π取3，
所以4h≈5r．
當(dāng)h≈

5

4

r時，兩種爬行路程一樣．
當(dāng)S₁＞S₂時，

h2+π2r2

＞h+2r，整理，得4h＜（π²-4）r
當(dāng)π取3時，有h＜

5

4

r，所以當(dāng)h＜

5

4

r時，沿AC再經(jīng)過直徑CB到點B時所走路程最短．
同理，當(dāng)h＞

5

4

r時，沿側(cè)面AB走路程最短．
當(dāng)h＜

5

4

r時，沿AC到CB走路程最短為h+2r．
當(dāng)h＜

5

4

r時，沿側(cè)面AB走或沿AC到CB走路程一樣長為

h2+9r2

或h+2r．
當(dāng)h＜

5

4

r時，沿側(cè)面AB走路程最短為

h2+9r2

．
當(dāng)h＜

5

4

r時，沿AC到CB走路程最短為h+2r．

點評：此題主要考查了平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．