Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D．下列四個(gè)結(jié)論：
①∠BOC=90°+

1

2

∠A； 
②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；
③設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=

1

2

mn；
④EF是△ABC的中位線．其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與內(nèi)角和定理，即可求得①正確；
由EF∥BC，與角平分線的性質(zhì)，即可證得△OBE與△OCF是等腰三角形，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，即可證得②正確；
利用角平分線的性質(zhì)與三角形的面積的求解方法，即可證得③正確．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A，故①正確；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠OCF，
∴BE=EO，F(xiàn)C=OF，
∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故②正確；
連接AO，過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，過點(diǎn)O作ON⊥AB于N，
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∴OD=OM=ON=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

1

2

AE•ON+

1

2

AF•OD=

1

2

OD•（AE+AF）=

1

2

mn，故③正確．
∵無法確定E，F(xiàn)是中點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．