Question

已知拋物線。

（1）試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D，
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形。

Answer 1

解：（1）∵當y=0時，得關于x的一元二次方程，
該方程根的判別式△=m²-4m+7=（m-2）²+3＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，即拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）①由直線y=x-1與拋物線交于A點，且在x軸上，
∴點A（1，0）代入二次函數(shù)函數(shù)式則m=3，
∴二次函數(shù)式為：，
當拋物線的對稱軸為直線x=3時，則y=-2，即頂點C為（3，-2），
把x=3代入直線y=x-1則y=2，即點D（3，2），
則AD=AC=2，
設點P（x，），
由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，得
解得：x=3或x=5，
則點P（3，2）（與點D重合舍去）或（5，0），
經檢驗點（5，0）符合，所以點P（5，0），
②設直線CD平移n個單位可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
則M（3+n，n+2），N（3+n，（3+n）²﹣3（3+n）+），
根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的判定，只要MN=DC=4，
（ⅰ）當點M在點N上方，得（n+2）-[（3+n）²-3（3+n）+]=4，
整理，得n²-2n=0，解得，n=0（與DC重合，舍去），n=2，
（ⅱ）當點M在點N下方，得
[（3+n）²﹣3（3+n）+]-（n+2）=4，
整理，得n²-2n-16=0，解得，n=1±
綜上所述，直線CD向右平移2或1+個單位或向左平移-1個單位，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形。