Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，D是線段BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，若∠BAC=30°，則∠DCE=　 　．

（2）設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β：

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B、C重合）移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α=β；②當(dāng)D在線段BC上時(shí)，α+β=180°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α=β．

【解析】

（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；

（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；②分D在線段BC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況求解即可.

（1）解：（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=30°，

∴∠DCE=30°.

故答案為30;；

（2）①解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α=β，

理由是：

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=α，∠DCE=β，

∴α=β；

②解：當(dāng)D在線段BC上時(shí)，α+β=180°，

理由如下：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE；

在△BAD與△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∴β=∠ABC+∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB=180°-α，

∴α+β=180°．

故答案為α+β=180°；

當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α=β，證明如①.

∴當(dāng)D在線段BC上時(shí)，α+β=180°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α=β．