Question

正三角形ABC，AB=2，點D、E分別在AC，BC上且DE∥AB、DE=．將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′（如圖D′，E′分別與點D，E對應），E′正好在AB上，D′E′與AC相交于點M．
（1）則∠AC E′=______；
（2）求證：四邊形ABC D′是梯形；
（3）求△AD′M的面積．

Answer 1

（1）解：∵等邊△ABC的邊長AB=2，
∴高線=2×=，
∵△CDE旋轉(zhuǎn)后點E的對應點E′正好在AB上，
∴CE′是△ABC的高，
∴∠ACE′=∠ABC=×60°=30°；

（2）證明：∵DE∥AB，
∴△CDE也是等邊三角形，
∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′，
∴∠ACD′=60°-30°=30°，
∴∠ACE′=∠ACD′，
∴AC是D′E′的垂直平分線，
∴∠CAD′=CAE′=60°，
∴∠CAD′=∠ACB，
∴AD′∥BC，
由圖可知，AB與CD′不平行，
∴四邊形ABC D′是梯形；

（3）解：∵∠ACD′=30°，∠CD′E′=60°，
∴∠CMD′=80°-30°-60°=90°，
∵DE=，
∴CM=×=，D′M=D′E′=，
又∵AC=2，
∴AM=2-=，
∴△AD′M的面積=AM•D′M=××=．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DE等于△ABC的高，從而得到CE′是△ABC的高，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答；
（2）先求出△CDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ACE′=∠ACD′，然后判斷出AC是D′E′的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠CAD′=CAE′=60°，然后求出∠CAD′=∠ACB，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判斷出AD′∥BC，然后根據(jù)梯形的定義證明即可；
（3）先求出∠CMD′=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CM、MD′的長，再根據(jù)直角三角形的面積公式列式計算即可得解．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，梯形的判定，以及三角形的面積的求解，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，高線與邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．