Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，直線交二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)C為的中點(diǎn).

（1）求的值；

（2）若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得∽？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，如圖1，易求出拋物線的對(duì)稱軸，可得OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出m的值；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，利用可得關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，注意到，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由此可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)為x軸上方的點(diǎn)時(shí)，若存在點(diǎn)P，可先求出直線BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直線BP的解析式，然后聯(lián)立直線BP和拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再計(jì)算此時(shí)兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可判斷點(diǎn)P是否滿足條件；當(dāng)點(diǎn)Q取另外一種情況的坐標(biāo)時(shí)，再按照同樣的方法計(jì)算判斷即可.

解：（1）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，如圖1，∴軸，∴，

∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴OE=1，∴，∴

∴將點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式得：，∴；

（2）設(shè)，

①點(diǎn)在軸上方時(shí)，，如圖2，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，∵，∴，解得：或（舍），∴；

②點(diǎn)在軸下方時(shí)，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴；

（3）①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，若存在點(diǎn)P，使∽，則∠PBQ=∠COA=90°，

由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，

聯(lián)立方程組：，解得：，，∴，

∵，，

∴，∴不存在；

②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，

聯(lián)立方程組：，解得：，，∴，

∵，，

∴，∴不存在.

綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)，使∽.