Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn)．

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求證：△ABC是直角三角形；

⑶若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.

【解析】

（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結(jié)論；
（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，
又拋物線過原點(diǎn)，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 ,

解得或 ,

∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如圖，分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB= ，BC=3，
∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時(shí)有或，

當(dāng)時(shí)，則有 ，即|x||-x+2|=|x|，

∵當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，

∴x≠0，

∴|-x+2|=，即-x+2=± ，解得x= 或x= ，

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②當(dāng)時(shí)，則有，即|x||-x+2|=3|x|，

∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ ，0）或（ ，0）或（-1，0）或（5，0）．