Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸相交于A點(diǎn)，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙P與y軸相切于點(diǎn)A．M為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MB交⊙P于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)N．
（1）請(qǐng)求出點(diǎn)A坐標(biāo)和⊙P的半徑；
（2）請(qǐng)確定拋物線的解析式；
（3）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）若△AOB與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫(huà)出符合題意的示意圖再求解）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)P必在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出拋物線對(duì)稱(chēng)軸的解析式即可得出圓P的半徑，連接PB，設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于Q，那么PQ⊥x軸，且PQ=OA，已知了圓的半徑和BC的長(zhǎng)，即可在直角三角形PBQ中求出PQ即OA的長(zhǎng)，也就得出了A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式；
（3）先求出三角形AOB的面積，再根據(jù)題中給出的兩三角形的面積比得出三角形BCN的面積，BC長(zhǎng)為定值，可求出N點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；（由于N是直線BM與拋物線的交點(diǎn)，且M在y軸負(fù)半軸，因此N點(diǎn)必在第一象限，據(jù)此可將不符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)舍去）
（4）根據(jù)弦切角定理可知：∠OAB=∠ADB，因此本題可分兩種情況：
①∠ABD=∠AOB=90°時(shí)，此時(shí)MD⊥AB，且AD是圓P的直徑，可根據(jù)相似三角形AMB和DMA得出的關(guān)于MA、AD、AB、BD的對(duì)應(yīng)成比例線段求出MA的長(zhǎng)，然后根據(jù)切割線定理可得出MB•MD=MA2，即可得出所求的值．
②∠BAD=∠AOB=90°時(shí)，思路同①也是先求出MA的長(zhǎng)，可根據(jù)直線MB的解析式求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)相似三角形MAB和MDA（一個(gè)公共角，∠MBA和∠DAO都是90°加上一個(gè)等角）求出MA的長(zhǎng)．后面同①．

解答：解：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），⊙P的半徑長(zhǎng)為

5

2

；

（2）拋物線的解析式是：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（3）設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由題意有

1

2

BC•|y₀|=

1

2

OA•OB×

15

2

∴

1

2

×3y₀=

1

2

×2×1×

15

2

解得y₀=5
∵N點(diǎn)在拋物線上
∴

1

2

x₀²-

5

2

x₀+2=5
解得x₀=6或x₀=-1（不合題意，舍去）
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5）；

（4）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有兩種情況
①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑
則AB=

5

，AD=5
∴BD=2

5

∵Rt△AMB∽R(shí)t△DAB
∴MA：AD=AB：BD即MA=

AB•AD

BD

=

5

2

∵Rt△AMB∽R(shí)t△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=

25

4

．
②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P的直徑，
所以直線MB過(guò)P點(diǎn)
∵B（1，0），P（

5

2

，2）
∴直線MB的解析式是：y=

4

3

x-

4

3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-

4

3

）
∴AM=

10

3

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA²=

100

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（4）題中，要根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的不同分類(lèi)討論，不要漏解．