Question

如圖①，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在邊AB、AD上．若AE=DF，易知△ADE≌△DBF．
如圖②，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在BA、AD的延長線上．若AE=DF，△ADE與△DBF是否全等？如果全等，請證明；如果不全等，請說明理由．
如圖③，在?ABCD中，AD=BD，點O是AD邊的垂直平分線與BD的交點，點E、F分別在OA、AD的延長線上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度數(shù)．

Answer 1

解：
探究：△ADE和△DBF全等．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD．
∴△ABD為等邊三角形．              
∴∠DAB=∠ADB=60°．
∴∠EAD=∠FDB=120°．                
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DBF；                            
拓展：
∵點O在AD的垂直平分線上，
∴OA=OD．                                                  
∴∠DAO=∠ADB=50°．
∴∠EAD=∠FDB．
∵AE=DF，AD=DB，
∴△ADE≌△DBF．                        
∴∠DEA=∠AFB=32°．                                       
∴∠EDA=18°．
分析：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性質(zhì)首先證明三角形ABD為等邊三角形，再利用全等三角形的判定方法即可證明△ADE≌△DBF；  
因為點O在AD的垂直平分線上，所以O(shè)A=OD，再通過證明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性質(zhì)即可求出∠ADE的度數(shù)．
點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目綜合性很強(qiáng)，但難度不大．