Question

已知：如圖，△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．
求證：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切線．

Answer 1

（1）證法一：連結(jié)CD，      
　
∵BC為⊙O的直徑
∴CD⊥AB                            
　　　 ∵AC＝BC
　　　 ∴AD＝BD．             
證法二：連結(jié)CD，    
　∵BC為⊙O的直徑
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵AC＝BC，CD＝CD
∴△ACD≌△BCD      
∴AD＝BD                      
（2）證法一：連結(jié)OD，     
　
　∵AD＝BD，OB＝OC
　　∴OD∥AC              
　　∵DE⊥AC 
∴DF⊥OD                     
　　∴DF是⊙O的切線．    
證法二：連結(jié)OD，  
　　　　∵OB=OD
　　　　∴∠BDO＝∠B            
　　　　∵∠B＝∠A
　　　　∴∠BDO=∠A       
　　　　∵∠A+∠ADE＝90°
　　　　∴∠BDO＋∠ADE＝90°
　　　　∴∠ODF=90°          
　　　　∴DF是⊙O的切線．   

（1）由于AC=AB，如果連接CD，那么只要證明出CD⊥AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，我們就可以得出AD=BD，由于BC是圓的直徑，那么CD⊥AB，由此可證得．
（2）連接OD，再證明OD⊥DE即可．