Question

【題目】在中，，，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針得到（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，），射線，分別交直線于點(diǎn)，.

（1）如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；

（2）如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程時(shí)，當(dāng)點(diǎn)分別在，的延長線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到PB=BC=，依據(jù)tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，

∵∠ACB=90°，AB=，AC=2，

∴BC=，

∵∠ACB=90°，m∥AC，

∴∠A'BC=90°，

∴cos∠A'CB=，

∴∠A'CB=30°，

∴∠ACA'=60°；

（2）∵M為A'B'的中點(diǎn)，

∴∠A'CM=∠MA'C，

由旋轉(zhuǎn)可得，∠MA'C=∠A，

∴∠A=∠A'CM，

∴tan∠PCB=tan∠A=，

∴PB=BC=，

∵tan∠Q=tan∠A=，

∴BQ=BC×=2，

∴PQ=PB+BQ=；

（3）∵S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，

∴S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，

∴S△PCQ=PQ×BC=PQ，

取PQ的中點(diǎn)G，則∠PCQ=90°，

∴CG=PQ，即PQ=2CG，

當(dāng)CG最小時(shí)，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG與CB重合時(shí)，CG最小，

∴CGmin=，PQmin=2，

∴S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-.