Question

等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=BC=CD=6cm．
（1）請(qǐng)寫∠BCD的度數(shù)（可直接寫出）．
（2）試求梯形ABCD的底邊AB的長(zhǎng)度．
（3）有一動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿著DC的延長(zhǎng)線向右運(yùn)動(dòng)，連接BE．當(dāng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△BEC恰好為直角三角形？
（4）有一動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿著DC的延長(zhǎng)線向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)N以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)，沿著射線BC運(yùn)動(dòng)，連接EN．當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中，△ECN的面積是否存在最大值，若存在，試求出時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等可得∠ABC=60°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DF∥BC，可以證明△ADF是等邊三角形，四邊形BCDF是平行四邊形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等以及平行四邊形的對(duì)邊相等即可得解；
（3）先求出∠BCE=60°，然后分①∠CEB=90°與②∠CBE=90°兩種情況，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度進(jìn)行計(jì)算；
（4）表示出CN的長(zhǎng)度，過點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)F，根據(jù)三角函數(shù)求出NF，然后利用三角形的面積列式表示出△ECN的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD中，∠A=60°，
∴∠ABC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-60°=120°；

（2）過點(diǎn)D作DF∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∴BF=CD，DF=BC，
∵AD=BC，∠A=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF=AD，
∵AD=BC=CD=6cm，
∴AB=AF+CD=6+6=12cm；

（3）∵∠BCD=120°，
∴∠BCE=60°，
①∠CEB=90°時(shí)，∠CBE=90°-∠BCE=90°-60°=30°，
∴CE=

1

2

×BC，
即2t=

1

2

×6，
解得t=

3

2

秒，
②∠CBE=90°時(shí)，∠CEB=90°-∠BCE=90°-60°=30°，
∴CE=2BC，
即2t=2×6，
解得t=6秒；
綜上所述，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為

3

2

秒或6秒時(shí)，△BEC恰好為直角三角形；

（4）∵點(diǎn)E的速度是2cm/s，點(diǎn)N的速度是1cm/s，
∴CE=2t，BN=t，
∴CN=BC-BN=6-t，
過點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)F，則NF=CN•sin60°=

3

2

（6-t），
∴S_△ECN=

1

2

×2t•

3

2

（6-t），
=

3

2

（-t²+6t），
=-

3

2

（t²-6t+9）+

9 3

2

，
=-

3

2

（t-3）²+

9 3

2

，
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，△ECN的面積最大，最大值是

9 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，等腰梯形的問題，準(zhǔn)確作出輔助線往往是解題的關(guān)鍵．