Question

附加題：如圖，點(diǎn)A₁，B₁，C₁分別在△ABC的邊AB，BC，CA上，且，若△ABC的周長為p，△A₁B₁C₁的周長為p₁；求證：p₁＜（1-k）p．

Answer 1

【答案】分析：過B₁作AC的平行線交AB于A₂，根據(jù)平行線分線段成比例定理，表示出B₁A₂、A₁A₂，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，A₁B₁＜（1-2k）AB+kAC，同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，然后根據(jù)三角形周長定義計(jì)算即可．
解答：證明：如圖，過B₁作AC的平行線交AB于A₂，
則有=k，
∴A₂B₁=kAC，BA₂=kAB，
∵AA₁=kAB，
∴A₁A₂=AB-AA₁-BA₂=（1-2k）AB，
在△A₁A₂B₁中，A₁B₁＜A₁A₂+B₁A₂=（1-2k）AB+kAC，
同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，
∴A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-2k）AB+kAC+（1-2k）BC+kAB+（1-2k）AC+kBC
整理得A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-k）（AB+BC+CA），
即p₁＜（1-k）p．
點(diǎn)評(píng)：本題主要利用三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．