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        1. 【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB>AC,射線AM平分∠BAC.

          (1)設(shè)AM交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,連接EF.有以下三種“判斷”:
          判斷1:AD垂直平分EF.
          判斷2:EF垂直平分AD.
          判斷3:AD與EF互相垂直平分.
          你同意哪個(gè)“判斷”?簡(jiǎn)述理由;
          (2)若射線AM上有一點(diǎn)N到△ABC的頂點(diǎn)B,C的距離相等,連接NB,NC.
          ①請(qǐng)指出△NBC的形狀,并說(shuō)明理由;
          ②當(dāng)AB=11,AC=7時(shí),求四邊形ABNC的面積.

          【答案】
          (1)

          解:如圖,判斷3正確.理由如下:

          ∵∠BAC=90°,DE⊥ABDF⊥AC,

          ∴DE=DF,∴∠AED=∠AFD=∠EAF=90°,

          ∴四邊形AEDF是矩形,∵DE=DF,

          ∴四邊形AEDF是正方形,

          ∴AD與EF互相垂直平分.

          故判斷3正確


          (2)

          解:①結(jié)論:△BCN是等腰直角三角形.理由如下:

          如圖作NE⊥AB于E,F(xiàn)N⊥AC于F.

          ∵M(jìn)A是∠BAC的平分線,

          ∴NE=NF,

          在Rt△NEB和Rt△NFC中,

          ,

          ∴△NEB≌△NFC,

          ∴BE=CF,∠BNE=∠CNF,

          易知四邊形AENF是正方形,

          ∴AE=AF,∠BNC=∠ENF=90°,

          ∴△BNC是等腰直角三角形.

          ②∵AB+AC=(AE+BE)+(AF﹣CF)=2AE=18,

          ∴AE=AF=9,

          ∵△NEB≌△NFC,

          ∴SNEB=SNFC,

          ∴S四邊形ABNC=S正方形AENF=92=81


          【解析】(1)結(jié)論:判斷3正確.只要證明四邊形AEDF是正方形即可解決問(wèn)題.(2)①△BCN是等腰直角三角形.如圖作NE⊥AB于E,F(xiàn)N⊥AC于F.只要證明△NEB≌△NFC,四邊形AENF是正方形即可解決問(wèn)題.②由△NEB≌△NFC,推出SNEB=SNFC , 推出S四邊形ABNC=S正方形AENF , 由此即可解決問(wèn)題.

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