Question

已知：在等邊△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，點G為直線BC上一動點，當點G在CB延長線上時，有結論“在直線EF上存在一點H，使得△DGH是等邊三角形”成立（如圖①），且當點G與點B、E、C重合時，該結論也一定成立。問題：當點G在直線BC的其它位置時，該結論是否仍然成立？請你在下面的備用圖②③④中，畫出相應圖形并證明相關結論。

Answer 1

證明：連接DE、EF、DF； （1）當點G在線段BE上時，如圖①， 在EF上截取EH使EH=BG， ∵D、E、F是等邊△ABC三邊中點， ∴△DEF、△DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD 在△DBG和△DEH中， ， ∴△DBG≌△DEH， ∴DG=DH， ∴∠BDG=∠EDH， ∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°， ∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°， ∴在直線EF上存在點H使得△DGH是等邊三角形； （2）當點G在射線EC上時，如圖②，在EF上截取EH使EH=BG， 由（1）可證△DBG≌△DEH， ∴DG=DH，∠BDG=∠EDH， ∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°， ∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°， ∴在直線EF上存在點H使得△DGH是等邊三角形； （3）當點G在BC延長線上時，如圖③， 與（2）同理可證，結論成立； 綜上所述，點G在直線BC上的任意位置時，該結論成立。