Question

如圖，AB為⊙O直徑，D為

BC

的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，
（1）求證：OD⊥DE；
（2）已知CE=1，DE=3，求AD長．

Answer 1

分析：（1）由D為

BC

的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得到∠CAD=∠DAB，而∠DAB=∠ADO，則∠CAD=∠ADO，于是有AE∥OD，又DE⊥AC，即可得到結(jié)論；
（2）連CD，BD，利用直徑所對的圓周角為直角以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易得到∠ECD=∠ADE=∠B，根據(jù)三角形相似的判定有Rt△ECD∽Rt△EDA，則DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，求出AE，然后利用勾股定理計(jì)算出AD．

解答：（1）證明：∵D為

BC

的中點(diǎn)，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠DAB，
而∠DAB=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE；

（2）解：連CD，BD，如圖，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠ADE+∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠ECD=∠B，
∴∠ECD=∠ADE，
∴Rt△ECD∽Rt△EDA，
∴DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，
∴AE=3，
∴AD=

AE2+DE2

=

32+92

=3

10

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．