Question

【題目】如圖1所示，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿射線AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s，同時，點Q從點C出發(fā)，沿射線CB方向勻速運動，速度為1cm/s，當△PNM停止平移時，點Q也停止運動，如圖2所示，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當t為何值時，PQ∥MN？
（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使得PQ=QM，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，由題意得：CQ=AP=t，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= = =4，

∴CP=4﹣t，

由平移的性質(zhì)可得MN∥AB，

∵PQ∥MN，

∴PQ∥AB，

∴ ，即 ，

解得t= ，

則當t為何值時，PQ∥MN

（2）

解：如圖2，過點P作PF⊥BC于點F，過點A作AE⊥BC于點E，

由S△ABC= AB×AC= AE×BC，

×3×4= ×5AE，

可得：AE= ，

則由勾股定理易得：CE= = = ．

∵PD⊥BC，AE⊥BC，

∴AE∥PD，

∴△CPD∽△CAE，

∴ ，即

∴PD= ，CD= ，

∵PM∥BC，

∴點M到BC的距離h=PD= ，

∴△QCM的面積y= CQ×h= × =﹣ + （0＜t＜4）

（3）

解：如圖3，過點Q作QD⊥PM于點D，QD交AC于點H．

∵PQ=MQ，

∴PD=DM= ，且DQ⊥BC．

在Rt△ABC中，AC=4，AP=t，QC=t．

∵∠A=∠HQC，∠ACB=∠QCH，

∴△CQH∽△CAB，

∴ ，即 ，

∴CH= t，

∴PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣t﹣ t=4﹣ t，

易證△PHD∽△CBA，

∴ ，

即 ，

解得t= ．

∴當t= 時，PQ=QM．

【解析】（1）如圖1，先根據(jù)題意得：CQ=AP=t，利用勾股定理求AC的長，根據(jù)PQ∥AB，列比例式可求得t的值；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，利用面積法得：S△ABC= AB×AC= AE×BC，可得：AE= ，由勾股定理易得：CE= ．證明△CPD∽△CAE，列比例式 ，求PD和CD的長，根據(jù)面積公式求△QCM的面積y；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明△CQH∽△CAB，列比例式得： ，表示CH= t，則PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣ t，易證△PHD∽△CBA，列式可求得t的值．
【考點精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．