Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c同時(shí)滿足下列條件：①對稱軸是x=1；②最值是15；③圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的平方和為15-a，則b的值是（　�。�

A．4或-30

B．-30

C．4

D．6或-20

Answer 1

分析：由拋物線的對稱軸及最值，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，表示出拋物線的頂點(diǎn)式方程，令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂及x₁x₂，把橫坐標(biāo)的平方和利用完全平方公式變形后，將表示出x₁+x₂及x₁x₂代入，根據(jù)橫坐標(biāo)的平方和為15-a，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，由b=-2a可得出b的值．

解答：解：由二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，最值為15，
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，15），此時(shí)a，b異號(hào)，a＜0，
可得二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²+15，
令y=0，可得ax²-2ax+a+15=0，設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+15

a

=1+

15

a

，又橫坐標(biāo)的平方和為15-a，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2²-（2+

30

a

）=15-a，
解得：a=15（舍去）或a=-2，
則b=-2a=4．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：拋物線的頂點(diǎn)形式，拋物線與x軸交點(diǎn)的求法，根與系數(shù)的關(guān)系，以及完全平方公式的運(yùn)用，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法為：令拋物線解析式中的y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解即為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．