Question

【題目】如圖所示，點O是等邊三角形ABC內一點，∠AOB＝100°，∠BOC＝α，D是△ABC外一點，且△ADC≌△BOC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當α＝150°時，判斷△AOD的形狀,并說明理由。

（3）探究：當α=_____度時，△AOD是等腰三角形。

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）直角三角形，見解析 （3）100或130或160

【解析】

（1）根據全等三角形的性質得到∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，證明∠DCA＋∠ACO＝60°，根據等邊三角形的判定定理證明；

（2）根據全等三角形的性質得到∠ADC＝∠BOC＝150°，結合圖形計算即可；

（3）分AD＝AO、DA＝DO、OD＝AO三種情況，根據等腰三角形的性質，三角形內角和定理計算．

（1）證明：∵△ADC≌△BOC，

∴∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，即∠OCB＋∠ACO＝60°，

∴∠DCA＋∠ACO＝60°，又CO＝CD，

∴△COD是等邊三角形；

（2）解：∵△ADC≌△BOC，

∴∠ADC＝∠BOC＝150°，

∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC＝60°，

∴∠ADO＝∠ADC∠ODC＝90°，

∠AOD＝360°100°150°60°＝50°，

∴∠OAD＝40°，

△AOD是直角三角形；

（3）解：當AD＝AO時，設∠AOD＝∠ADO＝x，

則∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝x＋60°，

∴∠BOC＝x＋60°，

則100°＋x＋60°＋x＋60°＝360°，

解得，x＝70°，

則α＝60°＋70°＝130°，

當DA＝DO時，設∠AOD＝∠DAO＝x，

則∠ADO＝180°2x，

∴∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝180°2x＋60°，

∴∠BOC＝240°2x，

則100°＋240°2x＋x＋60°＝360°，

解得，x＝40°，

則α＝240°2x＝160°，

當OD＝AO時，設∠OAD＝∠ADO＝x，

則∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝x＋60°，

∴∠BOC＝x＋60°，

則100°＋x＋60°＋180°2x＋60°＝360°，

解得，x＝40°，

則α＝60°＋40°＝100°，

綜上所述，當α為100°或130°或160°時，△AOD是等腰三角形．