Question

（2013•湘潭）如圖，在坐標(biāo)系xOy中，已知D（-5，4），B（-3，0），過(guò)D點(diǎn)分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PC∥DB；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PC⊥BC；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PO的長(zhǎng)為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與△BCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D點(diǎn)分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點(diǎn)，求出DC=5，OC=4，OB=3，根據(jù)四邊形DBPC是平行四邊形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；
（2）證△PCO∽△CBO，得出

4

3

=

PO

4

，求出OP=

16

3

即可；
（3）設(shè)⊙P的半徑是R，分為三種情況：①當(dāng)⊙P與直線DC相切時(shí)，過(guò)P作PM⊥DC交DC延長(zhǎng)線于M，求出PM、OP的長(zhǎng)即可；
②當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，根據(jù)△COB∽△PBM得出

4

R

=

5

3+R

，求出R=12即可；③當(dāng)⊙P與DB相切時(shí)，證△ADB∽△MPB得出

4

R

=

2 5

3+R

，求出R即可．

解答：解：（1）∵D（-5，4），B（-3，0），過(guò)D點(diǎn)分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點(diǎn)，
∴DC=5，OC=4，OB=3，

∵DC⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴DC∥BP，
∵PC∥DC，
∴四邊形DBPC是平行四邊形，
∴DC=BP=5，
∴OP=5-3=2，
2÷1=2，
即當(dāng)t為2秒時(shí)，PC∥BD；

（2）∵PC⊥BC，x軸⊥y軸，
∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，
∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，
∴∠CPO=∠BCO，
∴△PCO∽△CBO，
∴

OC

BO

=

OP

CO

，
∴

4

3

=

PO

4

，
∴OP=

16

3

，

16

3

÷1=

16

3

，
即當(dāng)t為

16

3

秒時(shí)，PC⊥BC；

（3）設(shè)⊙P的半徑是R，
分為三種情況：①當(dāng)⊙P與直線DC相切時(shí)，
如圖1，過(guò)P作PM⊥DC交DC延長(zhǎng)線于M，

則PM=OC=4=OP，
4÷1=4，
即t=4；
②如圖2，當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，
∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，
∴△COB∽△PMB，
∴

CO

PM

=

BC

BP

，
∴

4

R

=

5

3+R

，
R=12，
12÷1=12，
即t=12秒；
③根據(jù)勾股定理得：BD=

22+42

=2

5

，
如圖3，當(dāng)⊙P與DB相切時(shí)，

∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，
∴△ADB∽△MPB，
∴

AD

PM

=

DB

BP

，
∴

4

R

=

2 5

3+R

，
R=6

5

+12；
（6

5

+12）÷1=6

5

+12，
即t=（6

5

+12）秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算和推理能力．