Question

在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊，我們稱關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx-c=0為“△ABC的☆方程”．根據(jù)規(guī)定解答下列問(wèn)題：
（1）“△ABC的☆方程”ax²+bx-c=0的根的情況是

②

（填序號(hào)）：①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
（2）如圖，AD為⊙O的直徑，BC為弦，BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程”ax²+bx-c=0的解；
（3）若x=

1

4

c是“△ABC的☆方程”ax²+bx-c=0的一個(gè)根，其中a，b，c均為整數(shù)，且ac-4b＜0，求方程的另一個(gè)根．

Answer 1

分析：（1）利用三角形各邊大于0，再利用△=b²+4ac＞0，得出答案即可；
（2）利用等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而得出a=b=c，求出方程的根即可；
（3）將x=

1

4

c代入☆方程中可得：

ac2

16

+

bc

4

-c=0，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出ac+4b-16=0，結(jié)合ac-4b＜0，可得出0＜ac＜8，進(jìn)而求出a，b，c的值求出方程的根即可．

解答：解：（1）∵在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊，關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx-c=0為“△ABC的☆方程”，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴△=b²+4ac＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故答案為：②；

（2）∵AD為⊙O的直徑，
∴∠DBA=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠CBA=60°，
∵BC⊥AD于E，∠DBC=30°，
∴∠BDA=60°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴a=b=c，
∴“△ABC的☆方程”ax²+bx-c=0可以變?yōu)椋篴x²+ax-a=0，
∵△=b²+4ac＞0，
∴x=

-a± a2+4a2

2a

=

-1± 5

2

，
即x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

；

（3）將x=

1

4

c代入☆方程中可得：

ac2

16

+

bc

4

-c=0，
方程兩邊同除以c可得：

ac

16

+

b

4

-1=0，
化簡(jiǎn)可得：ac+4b-16=0，
結(jié)合ac-4b＜0，可得出0＜ac＜8，
由ac+4b=16，可知ac需能被4整除，又0＜ac＜8；
∴ac=4，從而b=3，
又因?yàn)閍，c為正整數(shù)，則a=1，c=4（不能構(gòu)成三角形，舍去）或者a=c=2，
所以☆方程為2x²+3x-2=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解法和等邊三角形的判定等知識(shí)，注意利用ac-4b＜0，ac+4b-16=0得出a，c的值是解題關(guān)鍵．