Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
（1）求證：BC平分∠PBD；
（2）求證：BC2=ABBD；
（3）若PA=6，PC=6 ，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵PD為圓O的切線(xiàn)，

∴OC⊥PD，

∵BD⊥PD，

∴OC∥BD，

∴∠OCB=∠CBD，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠CBD=∠OBC，

則BC平分∠PBD

（2）證明：連接AC，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴ ，即BC2=ABBD

（3）解：∵PC為圓O的切線(xiàn)，PAB為割線(xiàn)，

∴PC2=PAPB，即72=6PB，

解得：PB=12，

∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，

∴OC=3，PO=PA+AO=9，

∵△OCP∽△BDP，

∴ ，即 ，

則BD=4．

【解析】（1）連接OC，由PD為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC與BD平行，利用兩直線(xiàn)平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OC=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形，根據(jù)一對(duì)直角相等，以及第一問(wèn)的結(jié)論得到一對(duì)角相等，確定出△ABC與△BCD相似，由相似得比例，變形即可得證；（3）由切割線(xiàn)定理列出關(guān)系式，將PA，PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng)，由PB﹣PA求出AB的長(zhǎng)，確定出圓的半徑，由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似，由相似得比例，將OC，OP，以及PB的長(zhǎng)代入即可求出BD的長(zhǎng)．