Question

觀察下列圖形：

如果按這個規(guī)律一直排到第n個圖形，請?zhí)骄肯铝袉栴}：
（1）設第n個圖形和第n-1個圖形中所有三角形的個數(shù)分別為a_n、a_n-1，問：它們之間有什么數(shù)量關系？請寫出這個關系式．
（2）請你用含n的代數(shù)式來表示a_n，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）在一個三角形中，若增加一個小三角形，則原三角形變成了5個，而①中共有5個三角形，②中共有17個三角形，即在5個的基礎上增加了三個三角形變成了17個，進而可依據(jù)三角形的個數(shù)得出其內在關系，即3n+2；
（2）通過推理得出a_n的代數(shù)式，再證明結論的正確性．

解答：解：（1）按題中圖形的排列規(guī)律可得：an=3a_n-1+2．

（2）由（1）得：an=3a_n-1+2，a_n-1=3a_n-2+2，兩式相減得：
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）①
當n分別取3、4、5、n時，由①式可得下列（n-2）個等式：
a₃-a₂=3（a₂-a₁），a₄-a₃=3（a₃-a₂），a₅-a₄=3（a₄-a₃），
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）．
顯然an-a_n-1≠0，以上（n-2）個等式的左右兩邊分別相乘約去相同的項后得：
an-a_n-1=3^n-2（a₂-a₁）②
∵a₂-a₁=17-5=12，由（1）又可知a_n-1=

1

3

（a_n-2），
將它們代入②式即得：a_n=2×3ⁿ-1．

點評：本題主要考查了圖形變化的一般規(guī)律問題，能夠通過觀察，掌握其內在規(guī)律，并能通過證明得出結論的正確性．