Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點）上的動點．過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S，在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E，F(xiàn)恰好分別在邊BC，AC上．
（1）△ABC與△SBR是否相似，說明理由；
（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關系；
（3）設邊AB=1，當P在邊AB（含端點）上運動時，請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值．

Answer 1

解：(1) ∵RS是直角∠PRB的平分線，∴∠PRS=∠BRS=45° 在△ABC與△SBR中， ∠C=∠BRS=45°， ∠B是公共角， ∴△ABC∽△SBR (2)線段TS的長度與PA相等. ∵四邊形PTEF是正方形， ∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90° 在Rt△PFA中，∠PFA +∠FPA=90°， ∴∠PFA=∠TPS， ∴Rt△PAF≌Rt△TSP， ∴PA=TS. 當點P運動到使得T與R重合時，這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等， 即有PA=TS.  由以上可知，線段ST的長度與PA相等. (3)由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高， ∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1， ∴PS=. 設PA的長為x，易知AF=PS，則y=PF=PA+PS， 得y=x2+()2， 即y=， 根據(jù)二次函數(shù)的性質，當x=時，y有最小值為. 如圖2，當點P運動使得T與R重合時，PA=TS為最大. 易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， ∴PA= . 如圖3，當P與A重合時，得x=0. ∴x的取值范圍是0≤x≤. ∴①當x的值由0增大到時，y的值由減小到 ∴②當x的值由增大到時，y的值由增大到 ∵≤≤， ∴在點P的運動過程中，正方形PTEF面積y的最小值是，y的最大值是