Question

【題目】小明同學在研究如何在△ABC內做一個面積最大的正方形時，想到了可以利用位似知識解決這個問題，他的做法是：（如圖1）先在△ABC內作一個小正方形DEFG，使得頂點D落在邊AB上，頂點E、F落在邊BC上，然后連接BG并延長交AC邊于點H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，則正方形HIJK就是所作的面積最大的正方形．

（1）若△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，請求出小明所作的面積最大的正方形的邊長．

（2）拓展運用：

如圖2，已知∠BAC，在角的內部有一點P，請畫一個⊙M，使得⊙M經過點P，且與AB、AC都相切．（注：并簡要說明畫法）

Answer 1

【答案】（1）小明所作的面積最大的正方形的邊長為；（2）如圖2所示，見解析.

【解析】

（1）如圖1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，設正方形邊長為x，由IH∥BC，得，據(jù)此列出方程即可解決問題．
（2）作∠BAC的平分線AQ，在AQ上取一點O，作⊙O和AB、AC相切，連接AP交⊙O于E、F，然后利用位似知識，找到圓心M即可解決問題．

（1）如圖1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，設正方形邊長為x．

在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，

∴BM＝2，AM＝，

∵∠C＝∠MAC＝45°，

∴AM＝MC＝，

∴BC＝2+

∵IH∥BC，

∴，

∴，

解得：x＝，

∴小明所作的面積最大的正方形的邊長為；

（2）如圖2中，

①作∠BAC的平分線AQ，

②在AQ上取一點O，作⊙O和AB、AC相切，

③連接AP交⊙O于E、F．

④作PM1∥OE交AQ于M1，

⑤以M1為圓心PM1為半徑作⊙M1，

⊙M1即為所求；

同法，作PM2∥OF，交AQ于M2，

⊙M2即為所求．