Question

8．如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)45°，則兩個(gè)正方形公共部分（陰影部分）的面積為（8$\sqrt{2}$-8）cm²．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)正方形的中心點(diǎn)為O，利用正方形的性質(zhì)得∠OMC=∠OCM，∠OMB=∠OCB=45°，則∠BMC=∠BCM，所以BM=BC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABM=∠CBD=45°，于是可判斷△ABM和△BCD為全等的等腰直角三角形，所以AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，設(shè)BC=x，則AE=x，BD=$\sqrt{2}$x，AB=AF=$\sqrt{2}$x，利用正方形的邊長(zhǎng)為2得x+$\sqrt{2}$x+x=2，解得x=2-$\sqrt{2}$，然后利用正方形的面積減去4個(gè)三角形的面積即可得到兩個(gè)正方形公共部分（陰影部分）的面積．

解答 解：如圖，設(shè)正方形的中心點(diǎn)為O，
∵點(diǎn)M和點(diǎn)C到正方形的中心的距離相等，即OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM，
而∠OMB=∠OCB=45°，
∴∠BMC=∠BCM，
∴BM=BC，
∵正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)45°，
∴∠ABM=∠CBD=45°，
∴△ABM和△BCD為全等的等腰直角三角形，
∴AB=BD，
同理可得AF=AB，AE=AM=BC，
設(shè)BC=x，則AE=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AF=$\sqrt{2}$x，
∵AE+AB+BC=2，
∴x+$\sqrt{2}$x+x=2，解得x=2-$\sqrt{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•（2-$\sqrt{2}$）²=3-2$\sqrt{2}$，
∴兩個(gè)正方形公共部分（陰影部分）的面積=2²-4×（3-2$\sqrt{2}$）=（8$\sqrt{2}$-8）cm²．
故答案為（8$\sqrt{2}$-8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．