Question

在銳角三角形紙片ABC中，BC=4，高AD=3，直線EF∥BC，分別交線段AB，AC，AD于E，F(xiàn)，G，設(shè)EF=x．
（1）求線段AG的長（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）將紙片沿直線EF折疊，設(shè)點A落在平面上的點為P，△PEF與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，進而得出

AG

AD

=

EF

BC

，求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)0＜x≤2時，當(dāng)2＜x＜4時，分別利用三角形面積求法以及相似三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EF，
∴

AG

AD

=

EF

BC

，
∵BC=4，AD=3，EF=x，
∴AG=GP=

3

4

x；

（2）如圖1，2，當(dāng)0＜x≤2時，∵AG=

3

4

x，
∴y=

1

2

×x×

3

4

x=

3

8

x²，
如圖3，當(dāng)2＜x＜4時，
∵AG=GP=

3

4

x，AD=3，
∴DP=

3

2

x-3
∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∴

MN

EF

=

PD

PG

，
∴MN=2x-4，
∴y=S_△PEF-S_△PMN=

3

8

x2-

1

2

(

3

2

x-3)(2x-4)=-

9

8

x2+6x-6，
或∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∵AP⊥MN，EF，
∴

S△PMN

S△PEF

=(

PD

PG

)2，
而S△PEF=

3

8

x2，
∴S△PMN=

2

3

(

3

2

x-3)2=

3

2

x2-6x+6，
∴y=S_△PEF-S_△PMN=-

9

8

x2+6x-6．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積求法等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．