Question

如圖，將邊長為8

3

的正方形OEFP置于直角坐標系中，OE、OP分別與x軸、y軸的正半軸重合．
（1）直接寫出正方形OEFP的周長；
（2）等邊△ABC的邊長為2

3

，頂點A與坐標原點O重合，BC⊥x軸于點D，△ABC從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度先向右平移，當BC邊與直線EF重合時，繼續(xù)以同樣的速度向上平移，當點C與點F重合時，△ABC停止移動．設(shè)運動時間為t秒，△PAC的面積為y．①在△ABC向右平移的過程中，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；②當t為何值時，P、A、B三點在同一直線上（精確到0.1秒）．

Answer 1

分析：（1）正方形的周長等于邊長的4倍，即為32

3

；
（2）①連接PC，根據(jù)已知條件求出三角形ACD的面積，再用含有t的代數(shù)式分別表示出三角形POA和梯形POCD的面積，利用y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，即可求出y與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當P、A、B在同一直線上時（如圖所示），則Rt△PBF中，∠PBF=60°，取PB的中點G，連接GF，則GF=PG=GB，則三角形BGF為等邊三角形，利用勾股定理求出PB、BF的值即可求出時間t．

解答：解：（1）∵邊長為8

3

的正方形OEFP置于直角坐標系中，OE、OP分別與x軸、y軸的正半軸重合．
∴正方形OEFP的周長為：4×8

3

=32

3

；

（2）①連接PC，
∵等邊△ABC的邊長為2

3

，頂點A與坐標原點O重合，BC⊥x軸于點D，
∴AD=3，CD=

3

，PA=8

3

，
y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC=

3

2

t+12

3

，
0≤t≤8

3

-3；
②當A在OE上，∠BAE=∠PAO＞45°，∠BAC＞90°，不存在，
當P、A、B在同一直線上時（如圖所示），Rt△PBF中，∠PBF=60°，
取PB的中點G，連接GF，則GF=PG=GB，
∴△BGF是等邊三角形∴BF=0.5PB，
根據(jù)勾股定理可得：PB=16，BF=8，
又∵AD=3，
∴t=8

3

-3+8

3

-8+

3

=17

3

-11，
≈18.4（秒）．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用和分類討論思想，題目綜合性很強具有一定的難度．