【題目】在直角坐標(biāo)系中,
、
,將
經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移變化后得到如圖1所示的
.
(1)求經(jīng)過、
、
三點的拋物線的解析式;
(2)連結(jié),點
是位于線段
上方的拋物線上一動點,若直線
將
的面積分成
兩部分,求此時點
的坐標(biāo);
(3)現(xiàn)將、
分別向下、向左以
的速度同時平移,求出在此運動過程中
與
重疊部分面積的最大值.
【答案】(1);(2)
,
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)平移性質(zhì)寫出C點坐標(biāo),設(shè)經(jīng)過、
、
三點的拋物線解析式為
,然后將A,B,C三點坐標(biāo)代入解析式,求出a,b,c即可確定此拋物線解析式;(2)分兩種情況計算,設(shè)直線
與
交于點
. ∵直線
將
的面積分成
兩部分,∴
或
,過
作
于點
,則
∥
.∴
∽
,∴
.∴當(dāng)
時,
,能求出EF,BF,的長度,再求出OF的長度,于是E點坐標(biāo)確定,直線EC的解析式也就知道了,因為P點在直線EC上,又在拋物線上,列兩解析式相等,即可求出P點橫坐標(biāo),代入兩個中任何一個解析式就可求出P點縱坐標(biāo).當(dāng)
時,同樣有
,于是有
,同樣求出EF,BF,的長度,再求出OF的長度,確定E點坐標(biāo)及直線EC的解析式,列兩解析式相等,進(jìn)而求出P點坐標(biāo);(3)設(shè)
向下平移的距離為
,則△CBD向左平移的距離為2t,
與
重疊部分的面積為
.當(dāng)C點向左平移到A1B1邊上時,兩三角形重疊部分由四邊形變?yōu)橹苯侨切危愠鰐=
,即當(dāng)
時,
與
重疊部分為四邊形.設(shè)
與
軸交于點
,
與
軸交于點
,
與
交于點
,連結(jié)
.由已知求出
的解析式,
的解析式,
與
軸交點坐標(biāo),
與
軸交點坐標(biāo),兩個解析式聯(lián)立求出Q點坐標(biāo),建立重疊部分S與t的二次函數(shù)并算出最大值.平移過程中當(dāng)D點與
交于x軸同一點時,這時重疊部分為0,算出t=
,即當(dāng)
時,
與
重疊部分為直角三角形.設(shè)
與
軸交于點
,
與
交于點
.則
,利用三角形相似或平移的距離表示出重疊部分三角形的底和高,建立S與t的二次函數(shù),算出最大值,兩種情況進(jìn)行比較,得出結(jié)論.
試題解析:(1)由題意可知、
,將
經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移變化得到如圖所示的
,
∴.∴
.設(shè)經(jīng)過
、
、
三點的拋物線解析式為
,則有
,解得:
. ∴經(jīng)過
、
、
三點的拋物線的解析式為
;(2)如圖4.1所示,設(shè)直線
與
交于點
. ∵直線
將
的面積分成
兩部分,∴
或
,過
作
于點
,則
∥
.∴
∽
,∴
.∴當(dāng)
時,有
,∴
,∴
.設(shè)直線
解析式為
,將E,C兩點坐標(biāo)代入,則可求得其解析式為
,∴
,解得
(舍去),∴
;當(dāng)
時,同樣有
∽
,∴
.即
,解得EF=
,BF=
,OF=
,所以E(-
,
),設(shè)直線
解析式為
,將E,C兩點坐標(biāo)代入,則可求得其解析式為
,于是有
,整理得:
,解得
(舍去),將
代入直線EC解析式求出y=
,所以
.綜上所述點P的坐標(biāo)為
,
;
(3)設(shè)向下平移的距離為
,則△CBD向左平移的距離為2t,
與
重疊部分的面積為
.可由已知求出
的解析式為
,
與
軸交點坐標(biāo)為
.
的解析式為
,
與
軸交點坐標(biāo)為
. ①當(dāng)C點向左平移到A1B1邊上時,兩三角形重疊部分由四邊形變?yōu)橹苯侨切,由平行相似可得關(guān)系式:
,解得t=
,即當(dāng)
時,
與
重疊部分為四邊形.如圖4.2所示,設(shè)
與
軸交于點
,
與
軸交于點
,
與
交于點
,連結(jié)
.由
,得
,解得
.∴
.即當(dāng)t=
時
的最大值為
.②平移過程中當(dāng)D點與
交于x軸同一點時,這時重疊部分面積為0,由DO∥
可得關(guān)系式:
,解得t=
如圖
所示,即當(dāng)
時,
與
重疊部分為直角三角形. 設(shè)
與
軸交于點
,
與
交于點
.G點橫坐標(biāo)為1-2t,設(shè)G點縱坐標(biāo)為x,則
,解得x=4-5t,于是G點坐標(biāo)為
,則
,
.∴
.即當(dāng)t=
時,S最大值是
,∴當(dāng)
時,
的最大值為
.因為
<
,所以在此運動過程中
與
重疊部分面積的最大值為
.
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(1)做這個油桶要用多少鐵皮?(3分)
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(2)分別計算甲、乙成績的方差,并從計算結(jié)果來分析,你認(rèn)為哪位運動員的射擊成績更穩(wěn)定?
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A. abc<0B. abc=0
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