Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．將一塊足夠大的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)．如圖①②③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況．
（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PD⊥AC時(shí)，如圖①，四邊形PDCE是正方形，則PD=PE．當(dāng)PD與AC不垂直時(shí)，如圖②、③，PD=PE還成立嗎？并選擇其中的一個(gè)圖形證明你的結(jié)論．
（2）若D、E兩點(diǎn)分別在線段AC和CB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)BE的長為x，△APD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PEB是否能成為等腰三角形？若能，求出此時(shí)CE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以連接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．連接CP，就可以證明△CDP≌△BEP，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，就可以證明DP=PE；
（2）過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F，則PF=

1

2

AC=1，再由△APD的面積y=

1

2

AD•PF=

1

2

（2-x）×1，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進(jìn)行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．

解答：解：（1）PD=PE依然成立．
證明：如圖②，連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點(diǎn)，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°，
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）由（1）得CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∴AP=CP，△PCD≌△PBE，
∴CD=BE=x，
∴AD=AC-CD=2-x，
過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F，則PF=

1

2

AC=1，
∴△APD的面積y=

1

2

AD•PF=

1

2

（2-x）×1，
即y=1-

1

2

x．

（3）分三種情況討論如下：
①當(dāng)PE=PB時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，即CE=0．
②當(dāng)PE=BE時(shí)，CE=1．
③當(dāng)BE=PB時(shí)，
若點(diǎn)E在線段CB上時(shí)，CE=2-

2

；
若點(diǎn)E在CB延長線上時(shí)CE=2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定，第三問的解答應(yīng)分情況進(jìn)行論證，不能漏解，有一定難度．